Question

【題目】在一個邊長為a（單位：cm）的正方形ABCD中，點E、M分別是線段AC、CD上的動點，連結DE并延長交正方形的邊于點F，過點M作MN⊥DF于H，交AD于N

(1) 如圖①，當點M與點C重合，求證：DF=MN；

(2) 如圖②，假設點M從點C出發，以1 cm/s的速度沿CD向點D運動，點E同時從點A出發，以cm/s速度沿AC向點C運動，運動時間為t（t＞0）

① 判斷命題“當點F是邊AB中點時，則點M是邊CD的三等分點”的真假，并說明理由．

② 連結FM、FN，△MNF能否為等腰三角形？若能，請寫出a、t之間的關系；若不能，請說明理由

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①該命題是真命題．理由見解析；②能．理由見解析；

【解析】

試題分析：（1）證明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；

（2）①首先證明△AFE∽△CDE，利用比例式求出時間t=a，進而得到CM=a=CD，所以該命題為真命題；

②若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形，需要分類討論．

試題解析：（1）∵∠DNC+∠ADF=90°，∠DNC+∠DCN=90°，

∴∠ADF=∠DCN．

在△ADF與△DNC中，

，

∴△ADF≌△DNC（ASA），

∴DF=MN．

（2）①該命題是真命題．

理由如下：當點F是邊AB中點時，則AF=AB=CD．

∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，

∴，

∴AE=EC，則AE=AC=a，

∴t==a．

則CM=1t=a=CD，

∴點M為邊CD的三等分點．

②能．理由如下：

易證△AFE∽△CDE，∴，即，得AF=．

易證△MND∽△DFA，∴，即，得ND=t．

∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．

若△MNF為等腰三角形，則可能有三種情形：

（Ⅰ）若FN=MN，則由AN=DM知△FAN≌△NDM，

∴AF=ND，即=t，得t=0，不合題意．

∴此種情形不存在；

（Ⅱ）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，

∴t=a，此時點F與點B重合；

（Ⅲ）若FM=MN，顯然此時點F在BC邊上，如下圖所示：

∵AN=DM，AD=CD，

∴ND=CM，

∵，

∴△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；

又由△NDM∽△DCF，∴，即，∴FC=．

∴=a-t，

∴t=a，此時點F與點C重合．

綜上所述，當t=a或t=a時，△MNF能夠成為等腰三角形．