Question

【題目】如圖1，在直角坐標系第一象限內，與軸重合，，， ，點從點出發，以每秒個單位向點運動，點同時從點出發以每秒3個單位向點運動，當其中有一點到達終點時，另一點立即停止運動．是射線上的一點，且,以為鄰邊作矩形．設運動時間為秒．

（1）寫出點的坐標（ ， ）； ； ．(用的代數式表示)

（2）當點落在上時，求此時的長？

（3）①在的運動過程中，直角坐標系中是否存在點，使得四點構成的四邊形是菱形？若存在求出的值，不存在，請說明理由．

②如圖2，以為邊按逆時針方向做正方形，當正方形的頂點或落在矩形的某一邊上時，則 (直接寫出答案)．

Answer 1

【答案】（1）; （2）；（3）①存在， ，；②或 或 或

【解析】

（1）根據30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長，根據勾股定理求出OB的長，可得點A的坐標，由P運動的速度可求OP，由Q運動的速度和可求BC；

（2）當點落在上時，，根據30°角的性質求出OD，可得PD=t，進而求出OQ，然后根據即可求出t的值；

（3）①由菱形性質可知，過點作，在Rt△OPG中，求出PG、OG的長，進而求出GQ的長，然后根據列方程求解即可；

②分四種情況求解：ⅰ當點E在CD上時，ⅱ當點E在CD上時，ⅲ當點F在BC上時，ⅳ當點E在BQ上時．

（1）∵，， ，

∴AB=2，

∴OB=．

∵點同時從點出發以每秒3個單位向點運動，點從點出發，以每秒個單位向點運動，

∴OP=3t，BQ=，

∵，

∴BC=2t．

（2）如圖：，

，

∴OQ=．

又，

，

，

，

；

（3）①存在，四邊形 為菱形，只需要 即可

，

過點作，

，OP=3t，

， ，

，

由有勾股定理：，得：

解得：，；

②ⅰ當點E在CD上時，如圖，作PG⊥OB于G，作EM⊥OB于M．

∵四邊形PQEF是正方形，

∴PQ=QE，∠PQE=90°，

∴∠GQP+∠MQE=90°，

∵∠GQP+∠GPQ=90°，

∴∠GPQ=∠MQE，

又∵∠PGQ=∠QME=90°，

∴△PGQ≌△QME，

∴GQ=ME=BC．

∵，BQ=t，

∴GQ=BC=2t，

∵OG+GQ+QB=2，

∴+2t+t=2，

解得

；

ⅱ當點E在CD上時，如圖，作PG⊥OB于G，作EM⊥OB于M，交CD于N．

與ⅰ同理可證△PGQ≌△QME≌△ENF，

∴GQ=ME，PG=QM=EN，

∵PG=，

∴GQ=，

∴++t=2，

解得

；

ⅲ當點F在BC上時，如圖，作PG⊥OB于G，作PI⊥BC于I，

與ⅰ同理可證△PGQ≌△PFI，

∴PI=PG=，

∴+=2，

解得

；

ⅳ當點E在BQ上時，如圖，

+t=2，

解得

．

綜上可知，或 或 或．