Question

在平面直角坐標系中，直線L₁的函數關系式為y=2x-1，直線L₂過原點且L₂與直線L₁交于點P（-2，a）．
（1）試求a的值；
（2）試問（-2，a）可以看作是怎樣的二元一次方程組的解？
（3）設直線L₁與直線y=x交于點A，你能求出△APO的面積嗎？試試看．
（4）在x軸上是否存在點Q，使得△AOQ是等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由點P（-2，a）在線L₁上，代入解析式，即可求得a的值；
（2）由直線L₂過原點且L₂與直線L₁交于點P（-2，a），利用待定系數法即可求得直線L₂的解析式，繼而可求得答案；
（3）首先求得點A的坐標，然后由待定系數法即可求得直線AB的解析式，即可求得直線AB與y軸的交點，由S_△APO=S_△AOC+S_△POC，即可求得答案；
（4）首先利用勾股定理求得OA的長，然后分別從OA=OQ，AQ=AO，OQ=OA去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵點P（-2，a）在線L₁上，
∴2×（-2）-1=a，
解得：a=-5；

（2）設直線L₂的解析式為：y=kx+b，
∵點P（-2，-5），點O（0，0），
∴

-2k+b=-5 b=0

，
解得：

k= 5 2 b=0

，
∴直線L₂的解析式為：y=

5

2

x，
∴（-2，a）可以看作二元一次方程組：

y=2x-1 y= 5 2 x

的解；

（3）∵直線L₁與直線y=x交于點A，
∴

y=2x-1 y=x

，
解得：

x=1 y=1

，
∴點A的坐標為：（1，1），
設直線AB的解析式為：y=mx+n，交y軸于點C，
∴

m+n=1 -2m+n=-5

，
解得：

m=2 n=-1

，
∴直線AB的解析式為：y=2x-1，
∴點C的坐標為：（0，-1），
∴S_△APO=S_△AOC+S_△POC=

1

2

×1×1+

1

2

×1×2=

3

2

；

（4）存在．
∵點A（1，1），
∴OA=

12+12

=

2

，
若OQ=AQ，則點Q₁的坐標為：（1，0），
若OA=AQ，則點Q₂的坐標為：（2，0），
若OQ=OA，則點Q₃的坐標為：（

2

，0），點Q₄的坐標為：（-

2

，0），
綜上可得：Q₁（1，0），Q₂（2，0），Q₃（

2

，0），Q₄（-

2

，0）．

點評：此題考查了待定系數法求一次函數的解析式，兩直線的交點問題、二元一次方程組與一次函數的關系以及等腰三角形的性質．此題難度較大，注意掌握數形結合思想、分類討論思想與方程思想的應用．