Question

已知一條拋物線的對稱軸是直線x=1；它與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左邊），且線段AB的長是4；它還與過點C（1，-2）的直線有一個交點是D（2，-3）．
（1）求這條直線的函數解析式；
（2）求這條拋物線的函數解析式；
（3）若這條直線上有P點，使S_△PAB=12，求點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）由于所求直線經過點C（1，-2）和D（2，-3），利用待定系數法即可確定直線的解析式；
（2）由于拋物線的對稱軸是直線x=1；它與x軸相交于A，B兩點（點A在點B的左邊），且線段AB的長是4，由此可以確定A、B的坐標，還經過D（2，-3），利用待定系數法可以確定拋物線的函數解析式；
（3）由于線段AB的長是4，利用三角形的面積公式可以求出P的縱坐標的絕對值，然后代入（1）中直線解析式即可確定P的坐標．

解答：解：（1）∵直線經過點：C（1，-2）、D（2，-3），
設解析式為y=kx+b，
∴

-2=k+b -3=2k+b

，
解之得：k=-1，b=-1，
∴這些的解析式為y=-x-1；

（2）由拋物線的對稱軸是：x=1，與x軸兩交點A、B之間的距離是4，
可推出：A（-1，0），B（3，0）（2分）
設y=ax²+bx+c，
由待定系數法得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0 4a+2b+c=-3

，
解之得：

a=1 b=-2 c=-3

，
所以拋物線的解析式為：y=x²-2x-3（2分）；

（3）設點P的坐標為（x，y），它到x軸的距離為|y|．（1分）
∴S△PAB=

1

2

|AB||y|=

1

2

×4|y|=12，
解之得：y=±6（1分）
由點P在直線y=-x-1上，得P點坐標為（-7，6）和（5，-6）．

點評：此題分別考查了拋物線與x軸的交點坐標與對稱軸的關系、待定系數法確定函數的解析式即三角形的面積公式等知識，有一定的綜合性，一起學生熟練掌握各個知識點才能很好解決問題．