Question

本題為選做題，從甲、乙兩題中選做一題即可，如果兩題都做，只以甲題計分．
甲題：關于x的一元二次方程x²+（2k-3）x+k²=0有兩個不相等的實數根α、β．
（1）求k的取值范圍；
（2）若α+β+αβ=6，求（α-β）²+3αβ-5的值．
乙題：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=

1

4

DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

Answer 1

分析：甲題：（1）若方程有兩個不相等的實數根，則根的判別式△=b²-4ac＞0，建立關于k的不等式，即可求出k的取值范圍．
（2）利用根與系數的關系，用含有k是式子表達出兩根和、兩根積，代入所給方程，即可確定k的值，進而求出所求代數式的值．
乙題：（1）由于ABCD為正方形，所以AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，所以AE=ED，所以

AE

AB

=

1

2

，又因為DF=

1

4

DC，所以

DF

DE

=

1

2

，所以

AE

AB

=

DF

DE

，所以△ABE∽△DEF．
（2）由于ABCD為正方形，所以ED∥BG，所以

ED

CG

=

DF

CF

，又因為DF=

1

4

DC，正方形的邊長為4，所以ED=2，CG=6，所以BG=BC+CG=10．

解答：甲題：
解：（1）∵方程x²+（2k-3）x+k²=0有兩個不相等的實數根，
∴△＞0，即（2K-3）²-4×1×K²＞0，
解得：k＜

3

4

；
（2）由根與系數的關系得：α+β=-（2k-3），αβ=k²，
∵α+β+αβ=6，
∴k²-2k+3-6=0，
解得k=3或k=-1，
由（1）可知：k=3不合題意，舍去．
∴k=-1，
∴α+β=5，αβ=1
故（α-β）²+3αβ-5=（α+β）²-αβ-5=19．

乙題：
（1）證明：∵ABCD為正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴

AE

AB

=

1

2

，
又∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

，
∴

AE

AB

=

DF

DE

，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵ABCD為正方形，
∴ED∥BG，∴

ED

CG

=

DF

CF

，
又∵DF=

1

4

DC正方形的邊長為4，
∴ED=2，CG=6，
BG=BC+CG=10．

點評：甲題主要考查了一元二次方程根與系數的關系及根的判別式，一元二次方程根的情況與判別式△的關系：（1）△＞0?方程有兩個不相等的實數根；（2）△=0?方程有兩個相等的實數根；（3）△＜0?方程沒有實數根．
乙題主要考查根據相似三角形的判定定理判定三角形相似．