Question

矩形ABCD中，AD=4cm，AB=3cm，動點E從點C開始沿邊CB向點B以2cm/s的速度運動至點B停止，動點F從點D同時出發沿邊DC向點C以1cm/s的速度運動至點C停止，如圖可得到矩形CFHE，設運動時間為x（單位：s），此時矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為y（單位：cm²）
（1）請求出y與x之間的函數關系式，并寫出x的取值范圍；
（2）試求出y的最小值；
（3）是否存在某一時間x，使得矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為原矩形面積的一半？若存在，求出此時x值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據y=S_矩形ABCD-S_矩形ECFH就分情況討論，當0≤x≤2時或當2≤x≤3時分別可以求出其解析式就即可；
（2）將二次函數的解析式化為頂點式就可以得出最小值，一次函數的由自變量的取值范圍就可以得出最小值；
（3）由矩形的面積可以知道一半的值，由第二問的數值的比較可以得出結論．
解答：解：（1）由題意，CE=2xcm，DF=xcm
∴CF=（3-x）cm．
當0≤x≤2時，
∴y=12-2x（3-x），
y=2x²-6x+12，
當2＜x≤3時
y=12-4（3-x），
y=4x．
∴；

（2）當0≤x≤2時，
y=2x²-6x+12，
∴y=2（x²-3x）+12，
y=2（x-1.5）²+7.5．
∴a=2＞0，拋物線的開口向上，y由最小值，
∴當x=1.5時，y_最小=7.5
當2≤x≤3時，y=4x，
∴k=4＞0，y隨x的增大而增大，
∴x=2時，y最小=8，
∴x=1.5時，y_最小=7.5；

（3）不存在，
∵S_矩形ABCD=12×=6，
，
6＜7.5，
∴不存在某一時間x，使得矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余部分的面積為原矩形面積的一半．
點評：本題考查了矩形的面積公式的運用，二次函數的解析式及一次函數的解析式的運用，分段函數的運用，一次函數的最值和二次函數的最值的確定，解答時先求出函數的解析式是關鍵．