Question

【題目】如圖，在矩形ABCO中，點O為坐標原點，點B的坐標為（﹣4，3），點A，C在坐標軸上，將直線l1：y＝﹣2x+3向下平移6個單位長度得到直線l2．

（1）求直線l2的解析式；

（2）求直線l2與兩坐標軸圍成的三角形的面積S；

（3）已知點M在第二象限，且是直線l2上的點，點P在BC邊上，若△APM是等腰直角三角形，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣2x﹣3；（2） ；（3）點M的坐標為（﹣，）或（﹣2，1）或（﹣，）．

【解析】

（1）根據平移規律得出直線l2的解析式即可；

（2）根據坐標軸上點的坐標特征可求直線l1與x軸，直線l2與AB的交點坐標；

（3）分三種情況：①若點A為直角頂點時，點M在第二象限；若點P為直角頂點時，點M在第二象限；③若點M為直角頂點時，點M在第二象限；進行討論可求點M的坐標；

解：（1）直線l2的解析式為y＝﹣2x+3﹣6＝﹣2x﹣3．

（2）由（1）知直線l2的解析式為y＝﹣2x﹣3，令y＝0，即﹣2x﹣3＝0，

∴x＝﹣；

令x＝0，則y＝﹣3，

∴S＝×3×＝．

（3）若△APM是等腰直角三角形，分以下三種情況討論：①當點A為直角頂點時，∠MPA＝45°，連接AC，如圖a.

∵點M在第二象限，若∠MAP＝90°，則點M必在AB上方，

∴∠MPA＞∠BPA＞∠BCA＝45°，這與∠MPA＝45°矛盾，

∴點M不存在；

②當點P為直角頂點時，即∠MPA＝90°．

∵M在第二象限，

∴點M必在AB上方，如圖a，過點M作MN⊥CB交CB的延長線于點N，易證△ABP≌△PNM，

∴PN＝AB＝4，MN＝BP．

∵B（﹣4，3），

∴CB＝3．設點M的坐標為（x，﹣2x﹣3），則BP＝MN＝﹣4﹣x，CN＝﹣2x﹣3．

∵CN＝CB+PN﹣BP，

∴﹣2x﹣3＝3+4﹣（﹣4﹣x），

∴x＝﹣，則﹣2x﹣3＝，

∴點M的坐標為（﹣，）；

③當點M為直角頂點時，分兩種情況討論：如圖b，當點M在AB下方時，過點M作HG⊥OA交OA于點G，交BC于點H，易證△MPH≌△AMG，

∴MH＝AG．設點M的坐標為（a，﹣2a﹣3），則AG＝3﹣（﹣2a﹣3）＝6+2a，MG＝﹣a，

∴HG＝MH+MG＝AG+MG＝6+2a﹣a＝4，

∴a＝﹣2，則﹣2a﹣3＝1．

∴點M的坐標為（﹣2，1）；

如圖c，當點M在AB上方時，同理可得﹣2a﹣6﹣a＝4，

∴a＝﹣，則﹣2a﹣3＝，

∴點M2的坐標為（﹣，），

綜上所述，點M的坐標為（﹣，）或（﹣2，1）或（﹣，）．