Question

【題目】如圖，在△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周長為21cm，求AB的長；
（2）若∠MCN=50°，求∠ACB的度數(shù)．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵DM、EN分別垂直平分AC和BC，

∴AM=CM，CN=BN，

∵△CMN的周長為18cm，即CM+CN+MN=18，

∴AM+BN+MN=AB=18cm．

∴AB=18cm．

（2）解：∵DM垂直平分AC，

∴∠1=∠2，

∵EN垂直平分BC，

∴∠3=∠4，

又∵∠1+∠2+∠3+∠4+50°=180°，

則2（∠1+∠4）=180°﹣50°=130°，

∠1+∠4═65°，

∴∠ACB=（∠1+∠4）+∠MCN=65°+50°=115°．

【解析】（1）根據(jù)△ABC中，DM、EN分別垂直平分AC和BC，可知AM=CM，CN=BN，可知△CMN的周長即為AB的長．（2）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)可知，∠1=∠2，∠3=∠4，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，整體求出∠1+∠4的值，進(jìn)而可得∠ACB的度數(shù)．
【考點(diǎn)精析】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道垂直于一條線段并且平分這條線段的直線是這條線段的垂直平分線；線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．