Question

【題目】(2016山西省第23題)綜合與探究

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，與拋物線的一個交點(diǎn)為D，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)E，連接CE，已知點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為（－2，0），（6，－8）．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出點(diǎn)B和點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（2）試探究拋物線上是否存在點(diǎn)F，使≌，若存在，請直接寫出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）若點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上的一個動點(diǎn)，設(shè)其坐標(biāo)為（0，m），直線PB與直線l交于點(diǎn)Q．試探究：當(dāng)m為何值時，是等腰三角形．

Answer 1

【答案】(1)、；B(8,0)；E(3，-4)；(2)、（）或（）；(3)、或.

【解析】

試題分析：(1)、將A，D的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解二元一次方程即可求出函數(shù)表達(dá)式；點(diǎn)B坐標(biāo)：利用拋物線對稱性，求出對稱軸結(jié)合A點(diǎn)坐標(biāo)即可求出B點(diǎn)坐標(biāo)；點(diǎn)E坐標(biāo)：E為直線l和拋物線對稱軸的交點(diǎn)，利用D點(diǎn)坐標(biāo)求出l表達(dá)式，令其橫坐標(biāo)為，即可求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；(2)、利用全等對應(yīng)邊相等，可知FO=FC，所以點(diǎn)F肯定在OC的垂直平分線上，所以點(diǎn)F的縱坐標(biāo)為-4，帶入拋物線表達(dá)式，即可求出橫坐標(biāo)；(3)、根據(jù)點(diǎn)P在y軸負(fù)半軸上運(yùn)動，∴分兩種情況討論，再結(jié)合相似求解.

試題解析：（1）拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），D（6，－8），

解得 拋物線的函數(shù)表達(dá)式為

，拋物線的對稱軸為直線．又拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（－2，0）．點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，0）

設(shè)直線l的函數(shù)表達(dá)式為．點(diǎn)D（6，－8）在直線l上，6k=－8，解得．

直線l的函數(shù)表達(dá)式為

點(diǎn)E為直線l和拋物線對稱軸的交點(diǎn)．點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為3，縱坐標(biāo)為，

即點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－4）

(2)、拋物線上存在點(diǎn)F，使≌．點(diǎn)F的坐標(biāo)為（）或（）

(3)、分兩種情況：

①當(dāng)時，是等腰三角形．

點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－4），，過點(diǎn)E作直線ME//PB，交y軸于點(diǎn)M，交x軸于點(diǎn)H，則， 點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，－5）．

設(shè)直線ME的表達(dá)式為，，解得，ME的函數(shù)表達(dá)式為，令y=0，得，解得x=15，點(diǎn)H的坐標(biāo)為（15，0）

又MH//PB，，即，

②當(dāng)時，是等腰三角形． 當(dāng)x=0時，，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，－8），

，OE=CE，，又因為，， ，CE//PB

設(shè)直線CE交x軸于點(diǎn)N，其函數(shù)表達(dá)式為，，解得，

CE的函數(shù)表達(dá)式為，令y=0，得，，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（6，0）

CN//PB，，，解得

綜上所述，當(dāng)m的值為或時，是等腰三角形．