Question

【題目】數學課上張老師將課本頁第題進行了改編，圖形不變.請你完成下面問題.

如圖，.求證：

如圖，.求證：

如圖,求證：

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）詳見解析.

【解析】

（1）連接CD．根據等邊對等角，得到∠BCD=∠BDC，進而得到∠ACD=∠ADC．根據等角對等邊得到AC=AD．由SSS即可得到結論；

（2）過點B分別作BE⊥AC，BF⊥AD，垂足分別為E，F．根據角平分線的性質得到BE=BF．再由HL證明Rt△BCERt△BDF，根據全等三角形對應角相等得到∠C=∠D，進而由AAS即可證明△ABC△ABD；

（3）過點A分別作AE⊥BD，AF⊥BC，垂足分別為E，F．先證明點A在∠EBF的平分線上，由角平分線的性質即可得到AE=AF．由HL證明Rt△AED≌Rt△AFC，由全等三角形對應角相等得到∠C=∠D．根據AAS即可證明△ABC≌△ABD．

（1）連接CD．

∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．

∵∠ACB==∠ADB，∴∠ACB+∠BCD=∠ADB+∠BDC，即∠ACD=∠ADC，∴AC=AD．

在△ABC和△ABD中，∵AC=AD，BC=BD，AB=AB，∴△ABC≌△ABD；

（2）過點B分別作BE⊥AC，BF⊥AD，垂足分別為E，F，∴∠BEC=∠BFD=90°．

∵∠CAB=∠DAB，即點B在∠CAD的平分線上，BE⊥AC，BF⊥AD，垂足分別為E，F，∴BE=BF．

在Rt△BCE和Rt△BDF中，∵BC=BD，BE=BF，∴Rt△BCE≌Rt△BDF，∴∠C=∠D．

在△ABC和△ABD中，∵∠C=∠D，∠CAB=∠DAB，AB=AB，∴△ABC≌△ABD；

（3）如圖3，過點A分別作AE⊥BD，AF⊥BC，垂足分別為E，F，∴∠AED=∠AFC=90°．

∵∠ABC+∠ABF=∠ABD+∠ABE=180°，∠ABC=∠ABD，∴∠ABF=∠ABE，即點A在∠EBF的平分線上．

∵AE⊥BD，AF⊥BC，垂足分別為E，F，∴AE=AF．

在Rt△AED和Rt△AFC中，∵AD=AC，AE=AF，∴Rt△AED≌Rt△AFC，∴∠C=∠D．

在△ABC和△ABD中，∵∠C=∠D，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴△ABC≌△ABD．