Question

如圖，以AB為直徑作半圓與直角梯形ABED另一腰DE相切于C點，再分別以AC、BC、
AD、CD、CE、BE為直徑作半圓．若AC=3，BC=4，則圖中陰影部分的面積和為    ．

Answer 1

【答案】分析：先取AB的中點O，連接OC，由勾股定理求出AB的長，再根據切線的性質判斷出OC是梯形ABED的中位線，求出OC的長，根據直角梯形的性質及勾股定理求出CE的長，進而求出梯形的高，再根據勾股定理及圓的面積公式得出S_陰影=S_梯形ABED-S_△ABC，再把相應的數值代入進行計算即可．
解答：解：取AB的中點O，連接OC，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵AC=3，BC=4，
∴AB===5，
∵DE是⊙O的切線，
∴OC⊥DE，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴OC是梯形ABED的中位線，
∴CD=CE，=OC，
∴OA=OC==，
∵梯形ABED是直角梯形，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴AC²-AD²=BC²-BE²，即3²-（2OC-BE）²=4²-BE²，即3²-（5-BE）²=4²-BE²，解得BE=3.2，
∴CD=CE===，
∴DE=2CE=2×=，
∵△ACD是直角三角形，
∴AC2=AD²+CD²，
∴（）²=（）²+（）²，
即以AC為半徑的圓的半圓的面積等于以CD為半徑的半圓與以AD為半徑的半圓面積的和，
∴以CD為半徑的半圓陰影部分與以AD為半徑的半圓陰影部分面積的和等于Rt△ACD的面積，
同理可得，以BE為半徑的半圓陰影部分與以CE為半徑的半圓陰影部分面積的和等于Rt△CBE的面積，
∴S_陰影=S_梯形ABED-S_△ABC=-AC×BC=OC×DE-AC×BC=2.5×-×3×4=6．
故答案為：6．
點評：本題考查的是切線的性質、勾股定理及直角梯形的性質，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出梯形的中位線，再根據中位線的性質進行解答．