Question

直線分別交x軸、y軸于A、B兩點，△AOB繞點O按逆時針方向旋轉90°后得到△COD，拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A、C、D三點．

(1) 寫出點A、B、C、D的坐標；

(2) 求經過A、C、D三點的拋物線表達式，并求拋物線頂點G的坐標；

(3) 在直線BG上是否存在點Q，使得以點A、B、Q為頂點的三角形與△COD相似？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

圖1

Answer 1

（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(－1，0)．

（2）因為拋物線y＝ax²＋bx＋c經過A(3，0)、C(0，3)、D(－1，0) 三點，

所以  解得 

所以拋物線的解析式為y＝－x²＋2x＋3＝－(x－1)²＋4，頂點G的坐標為(1，4)．

（3）如圖2，直線BG的解析式為y＝3x＋1，直線CD的解析式為y＝3x＋3，因此CD//BG．

因為圖形在旋轉過程中，對應線段的夾角等于旋轉角，所以AB⊥CD．因此AB⊥BG，即∠ABQ＝90°．

因為點Q在直線BG上，設點Q的坐標為(x，3x＋1)，那么．

Rt△COD的兩條直角邊的比為1∶3，如果Rt△ABQ與Rt△COD相似，存在兩種情況：

①當時，．解得．所以，．

②當時，．解得．所以，．

圖2                         圖3