Question

【題目】如圖，直線AC∥BD，連接AB，直線AC、BD及線段AB把平面分成①、②、③、④四個部分，規定：線上各點不屬于任何部分．當動點P落在某個部分時，連接PA，PB，構成∠PAC，∠APB，∠PBD三個角．（提示：有公共端點的兩條重合的射線所組成的角是0°角）

（1）當動點P落在第①部分時，求證：∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）當動點P落在第②部分時，∠APB=∠PAC+∠PBD是否成立？（直接回答成立或不成立）

（3）當動點P落在第③部分時，全面探究∠PAC，∠APB，∠PBD之間的關系，并寫出動點P的具體位置和相應的結論．選擇其中一種結論加以證明．

Answer 1

【答案】（1）證明解解析（2）不成立（3）（a）當動點P在射線BA的右側時，結論是：∠PBD=∠PAC+∠APB．（b）當動點P在射線BA上，結論是：∠PBD=∠PAC+∠APB．或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD（任寫一個即可）．（c）當動點P在射線BA的左側時，結論是∠PAC=∠APB+∠PBD．選擇（a）證明見解析

【解析】

試題分析：（1）如圖1，延長BP交直線AC于點E，由AC∥BD，可知∠PEA=∠PBD．由∠APB=∠PAE+∠PEA，可知∠APB=∠PAC+∠PBD；

（2）過點P作AC的平行線，根據平行線的性質解答；

（3）根據P的不同位置，分三種情況討論．

解：（1）解法一：如圖1延長BP交直線AC于點E．

∵AC∥BD，∴∠PEA=∠PBD．

∵∠APB=∠PAE+∠PEA，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD；

解法二：如圖2

過點P作FP∥AC，

∴∠PAC=∠APF．

∵AC∥BD，∴FP∥BD．

∴∠FPB=∠PBD．

∴∠APB=∠APF+∠FPB

=∠PAC+∠PBD；

解法三：如圖3，

∵AC∥BD，

∴∠CAB+∠ABD=180°，

∠PAC+∠PAB+∠PBA+∠PBD=180°．

又∠APB+∠PBA+∠PAB=180°，

∴∠APB=∠PAC+∠PBD．

（2）不成立．

（3）（a）當動點P在射線BA的右側時，結論是：

∠PBD=∠PAC+∠APB．

（b）當動點P在射線BA上，結論是：

∠PBD=∠PAC+∠APB．

或∠PAC=∠PBD+∠APB或∠APB=0°，

∠PAC=∠PBD（任寫一個即可）．

（c）當動點P在射線BA的左側時，

結論是∠PAC=∠APB+∠PBD．

選擇（a）證明：

如圖4，連接PA，連接PB交AC于M．

∵AC∥BD，

∴∠PMC=∠PBD．

又∵∠PMC=∠PAM+∠APM（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和），

∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

選擇（b）證明：如圖5

∵點P在射線BA上，∴∠APB=0度．

∵AC∥BD，∴∠PBD=∠PAC．

∴∠PBD=∠PAC+∠APB

或∠PAC=∠PBD+∠APB

或∠APB=0°，∠PAC=∠PBD．

選擇（c）證明：

如圖6，連接PA，連接PB交AC于F

∵AC∥BD，∴∠PFA=∠PBD．

∵∠PAC=∠APF+∠PFA，

∴∠PAC=∠APB+∠PBD．