Question

2012年3月23日至3月25日為期3天、以“云聯世界感知未來”為主題的2012中國（重慶）國際云計算博覽會（下稱云博會）在渝召開，重慶新市委書記張德江說在未來10年內重慶實施“云端計劃”建設智慧重慶． 市委市政府非常重視“云端服務器”的建設，幾年前就已經著手建設“云端服務器”，據統計，某行政區在去年前7個月內，“云端服務器”的數量與月份之間的關系如下表：

月份x（月）	1	2	3	4	5	6	7
云端服務器數量y1（臺）	32	34	36	38	40	42	44

而由于部分地區陸續被劃分到其它行政區，該行政區8至12月份“云端服務器”數量y₂（臺）與月份x（月）之間存在如圖所示的變化趨勢：
（1）請觀察表格，用所學過的一次函數、反比例函數或二次函數的有關知識，直接寫出y₁與x之間的函數關系式，根據如圖所示的變化趨勢，直接寫出y₂與x之間滿足的一次函數關系式；
（2）在2011年內，市政府每月對每一臺云端服務器的資金也隨月份發生改變，若對每一臺服務器的投入的資金p₁（萬元）與月份x滿足函數關系式：p₁=-0.5x+10.5，（1≤x≤7，且x為整數）；8至12月份的資金投入p₂（萬元）與月份x滿足函數關系式：p₂=0.5x+10（8≤x≤12，且x為整數）求去年哪個月政府對該片區的資金投入最大，并求出這個最大投入；
（3）2012年1月到3月份，政府計劃該區的云端服務器每月的數量比去年12份減少2a%，在去年12月份的基礎上每月每一臺云端服務器資金投入量將增加0.5a%，某民營企業為表示對“智慧重慶”的鼎力支持，決定在1月到3月份對每臺云端服務器分別贊助3萬元．若計劃1月到3月份用于云端服務器所需的資金總額（政府+民企贊助）一共達到546萬元，請參考以下數據，估計a的整數值．（參考數據：17²=289，18²=324，QUOTE 87²=7569，88²=7744，89²=7921）19²=361）

Answer 1

分析：（1）根據圖表可以得到每個月增加2個，因而是一次函數，根據每個月增加2個即可寫出函數解析式，同理可以寫出8月到12月的函數關系式；
（2）每個月的資金投入可以表示成月份x的函數，利用函數的性質，即可求得函數的最值；
（3）表示出2011年12月份，政府計劃該區的云端服務器數量，以及每臺投入資金，再根據總投入=3×每月總數量×每臺投入資金，即可列出方程，從而求解．

解答：解：（1）根據表可以得到每月增加2個，則一定是一次函數，
則y=32+2（x-1），即y₁=2x+30；
y₂=26-3（x-8），即y₂=-3x+50．

（2）當1≤x≤7時，資金投入：W₁=（2x+30）（-0.5x+10.5），
即W₁=-x²+6x+315=-（x-3）²+324，
故當x=3時，投入最大，最大投入是：324（萬元）；
當8≤x≤12時，資金投入是：W₂=（-3x+50）（0.5x+10），
即W₂=-1.5x²-5x+500，則對稱軸是x=-

b

2a

=-

5

3

，a=-1.5，開口向下，
當x=8時，函數取得最大值，最大值是：-1.5×64-5×8+500=364（萬元）；
∵364＞324，
∴8月份政府的投入最大，最大是364萬元；

（3）∵該行政區8至12月份“云端服務器”數量y₂（臺）與月份x（月）之間函數關系式為：
y₂=-3x+50，
∴x=12時，y=14，
8至12月份的資金投入p₂（萬元）與月份x滿足函數關系式：p₂=0.5x+10，
則p=16，
根據題意得出：
3×14（1-2a%）×[16（1+0.5a%）+3]=546，
令a%=t，
整理得出：8t ²+15t-3=0，
解得：t₁=

3

16

≈0.1875，t₂=-

33

16

（舍去），
解得：a≈19．
答：a的整數值約為19．

點評：此題主要考查了二次函數的應用以及二次函數的最值問題，根據自變量的取值范圍利用分段函數求出是解題關鍵．