Question

（2012•邯鄲二模）已知：如圖1，在菱形ABCD中，E是BC的中點．過點C作CG∥EA交AD于G．
（1）求證：AE=CG；
（2）取CD的中點F，連接AF交CG于H，如圖2所示．求證：AH=CH；
（3）在（2）的條件下中，若∠B=60°，直接寫出△AHG與△ADF的周長比．

Answer 1

分析：（1）由四邊形ABCD是菱形，可得CB∥DA，又由CG∥EA，即可證得四邊形AECG是平行四邊形，根據平行四邊形的對邊相等，即可證得AE=CG；
（2）由四邊形AECG是平行四邊形，取CD的中點F，E是BC的中點，易證得△ADF≌△CDG，然后由AAS證得△AGH≌△CFH，則可得AH=CH；
（3）首先連接AC，易得△ACD是等邊三角形，則可得AF⊥CD，CG⊥AD，則可證得△AGH∽△AFD，然后由相似三角形周長的比等于相似比，求得△AHG與△ADF的周長比．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴CB∥DA，
∵CG∥EA，
∴四邊形AECG是平行四邊形，
∴AE=CG；

（2）證明：由（1）可知，四邊形AECG是平行四邊形，
∴AG=CE，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=CB=CD，
∵EC=

1

2

BC，
∴AG=GD=

1

2

CD，
∵FC=DF=

1

2

DC，
∴AG=GD=CF=DF，
在△ADF和△CDG中，

AD=CD ∠D=∠D DF=DG

，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴∠DAF=∠DCG，
在△AGH和△CFH中，

∠GAH=∠FAH ∠AHG=∠CHF AG=CF

，
∴△AGH≌△CFH（AAS），
∴AH=CH；

（3）解：連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠D=∠B=60°，
∵AD=CD，
∴△ACD是等邊三角形，
∵CG與AF都是△ACD的中線，
∴AF⊥CD，CG⊥AG，
∴∠AGH=∠AFD=90°，
∵∠DAF=∠HAG，
∴△AHG∽△ADF，
∵在Rt△ADF中，sin60°=

AF

AD

=

3

2

，
又∵AG=

1

2

AD，
∴AG：AF=

3

：3，
∴△AHG與△ADF的周長比為

3

：3．

點評：此題考查了菱形的性質、相似三角形的判定與性質、平行四邊形的判定與性質以及全等三角形的判定與性質等知識．此題綜合性較強，難度適中，注意掌握數形結合思想的應用．