Question

【題目】問題發現

（1）如圖①，為邊長為的等邊三角形，是邊上一點且平分的面積，則線段的長度為____；

問題探究

（2）如圖②，中，點在上，點在上，若平分的面積，且最短，請你畫出符合要求的線段，并求出此時與的長度．

問題解決

（3）如圖③，某公園的一塊空地由三條道路圍成，即線段，已知米，米，的圓心在邊上，現規劃在空地上種植草坪，并的中點修一條直路(點在 上)．請問是否存在，使得平分該空地的面積?若存在，請求出此時的長度；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）MN=3，AM=2.5，作圖見詳解；（3）存在，使得平分該空地的面積，AM= 146（米）．

【解析】

（1）作CD⊥AB于點D，利用等邊三角形三線合一的性質和直角三角形的性質求出AD的長，即可；
（2）經過平行四邊形對角線的交點的直線將平行四邊形的面積分成相等的兩部分，當MN⊥BC時，MN最短，過A作AE⊥BC于點E，根據三角函數的定義，求AE的長，即是MN的長，再求出EN的長，即AM的長；

（3）作AC的垂直平分線EF交AB于點O，交AC于點D，則點O為所在圓的圓心，通過銳角三角函數的定義，求得OD的值，從而得，，在線段OB上取點M，連接PM，使OPM的面積=1050，進而求出OM，即可求出AM的值，然后得到結論．

（1）如圖①，作CD⊥AB于點D，

∵為邊長為的等邊三角形，

∴AD=BD，

∴平分的面積，

∴CD=AC=×2=，

故答案是：；

（2）連接AC、BD交于點O，

過點O作直線MN，交AD于M，交BC于N，如圖②，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA=OC，AD∥BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵∠AOM=∠CON，

∴△AOM≌△CON（ASA），

∴S△AOM=S△CON，

同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，

∴S△OMD=S△ONB，S△AOB=S△COD，

∴S△AOM+S△AOB+S△BON=S△CON+S△COD+S△OMD，

即：MN將四邊形ABCD分成面積相等的兩部分，

當MN⊥BC時，MN最短，如圖③所示，

過A作AE⊥BC于點E，

在Rt△ABE中，

∵∠ABC=60°，

∴sin60span>°=，

∴AE=×6=3，

∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，

∴MN=AE=3，

∴此時MN的長度為3，

∵AE∥MN，AO=CO，

∴EN=CN，

∵BE=AB=3，

∴CE=BC-BE=8-3=5，

∴EN=2.5，

∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，

∴四邊形AENM是矩形，即：AM=EN=2.5；

（3）存在，使得平分該空地的面積，理由如下：

作AC的垂直平分線EF交AB于點O，交AC于點D，則點O為所在圓的圓心，如圖④，

∵點P是的中點，

∴點P在直線EF上，

∵（米），（米），，

∴AC==200（米），AD=AC=100（米），

∵tan∠BAC=，

∴OD=AD=75（米），

∴（平方米），

∵（平方米），

∴（平方米），

∴圖形OBCP的面積比圖形AOP的面積多2100平方米，

∴在線段OB上取點M，連接PM，使OPM的面積=1050（平方米），即可．

∵sin∠BAC=，

∴OA=OD=×75=125（米），

∴OP=OA=125（米），

過點M作MN⊥EF于點N，

∴OPMN=1050，即：MN=2100÷125=（米），

∵MN∥AC，

∴AOD~MON，

∴，即：，解得：MO=21（米），

∴AM=AO+MO=125+21=146（米），

∵AM＜AB，

∴存在，使得平分該空地的面積，此時，AM= 146（米）．