Question

【題目】如圖①，在四邊形 ABCD 中，∠A＝x°，∠C＝y°.

（1） ∠ABC＋∠ADC＝ °．（用含 x，y 的代數式表示）

（2） BE、DF 分別為∠ABC、∠ADC 的外角平分線，

①若 BE∥DF，x＝30，則 y＝ ；

②當 y＝2x 時，若 BE 與 DF 交于點 P，且∠DPB＝20°，求 y 的值．

（3） 如圖②，∠ABC 的平分線與∠ADC 的外角平分線交于點 Q，則∠Q＝ °．（用含 x，y 的代數式表示）

Answer 1

【答案】（1）（360－x－y）． （2）①30°；x＝40，y＝80；（3）90＋(x－y)

【解析】

（1）利用四邊形內角和是360°即可解題,（2）①作出圖像,利用四邊形的內角和是360°即可解題, ②利用內角和定理和角平分線的性質得到∠PBC＋∠PDC＝(∠NBC＋∠MDC)=(x＋y),再延長 BC，與 DP 交于點 Q,利用三角形的外角的性質即可求解,（3）利用四邊形BCDQ和四邊形ABCD的內角和是360°,分別表示出兩個等式,進行化簡整理可得∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,再利用∠1-∠2=90°-（）°,即可求解.

解：（1）∵四邊形ABCD的內角和是360°,

∴∠ABC＋∠ADC＝360°-（∠A+∠B）=（360－x－y）°．

（2）①過點C作CH∥DF,

∵ BE∥DF

∴CH∥BE,∠FDC=∠DCH,∠EBC=∠BCH,

∴∠ABC=180°-2∠CBE,∠ADC=180°-2∠FDC,∠BCD=∠EBC+∠FDC,

∴30°+180°-2∠CBE+∠EBC+∠FDC+180°-2∠FDC=360°,

∴∠EBC+∠FDC=30°,即y=30°,

②由（1）得∠ABC＋∠ADC ＝(360－x－y) °

又∵∠ADC＋∠MDC＝180°，∠ABC＋∠NDC＝180°

∴∠NBC＋∠MDC＝(x＋y)°

∵BE、DF 分別為平分∠ABC、∠ADC

∴∠PBC＝∠NBC，∠PDC＝∠MDC

∴∠PBC＋∠PDC＝(∠NBC＋∠MDC)=(x＋y)

延長 BC，與 DP 交于點 Q,見下圖,

∵∠BCD＝∠PDC＋∠DQC,∠DQC＝∠P＋∠QBP（外角性質）

∴∠BCD＝∠P＋∠PBC＋∠PDC

∴y＝20＋(x＋y)，即y－x＝40

又∵y＝2x

∴x＝40，y＝80

（3）如下圖,∵∠ABC 的平分線與∠ADC 的外角平分線交于點 Q，

∴∠ABQ=∠CBQ=∠1,

∵四邊形BCDQ和四邊形ABCD的內角和是360°,

即∠Q+∠2+∠ADC+∠C+∠1=360°,

∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,

整理得,∠Q=∠A+（∠1-∠2）

∵∠A+∠ADC+∠C+2∠1=360°,

整理得,∠1-∠2=90°-（）°,

∴∠Q=[90＋(x－y)]°