Question

我們所學的幾何知識可以理解為對“構圖”的研究：根據給定的（或構造的）幾何圖形提出相關的概念和問題（或者根據問題構造圖形），并加以研究．
例如：在平面上根據兩條直線的各種構圖，可以提出“兩條直線平行”、“兩條直線相交”的概念；若增加第三條直線，則可以提出并研究“兩條直線平行的判定和性質”等問題（包括研究的思想和方法）．
請你用上面的思想和方法對下面關于圓的問題進行研究：
（1）如圖1，在圓O所在平面上，放置一條直線m（m和圓O分別交于點A、B），根據這個圖形可以提出的概念或問題有哪些？（直接寫出兩個即可）
（2）如圖2，在圓O所在平面上，請你放置與圓O都相交且不同時經過圓心的兩條直線m和n（m與圓O分別交于點A、B，n與圓O分別交于點C、D）．請你根據所構造的圖形提出一個結論，并證明之；
（3）如圖3，其中AB是圓O的直徑，AC是弦，D是

ABC

的中點，弦DE⊥AB于點F．請找出點C和點E重合的條件，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）本題AB⊥DE，滿足垂徑定理，可以寫出垂徑定理的結論；
（2）根據三角形相似就可以證出；
（3）若點C和點E重合，設∠BAC=x，又D是

ABC

的中點，根據2∠CAD=∠CAD+ACD=180°-∠ABC，就可以求出∠BAC的度數．

解答：解：（1）弦（圖中線段AB）、弧（圖中的ACB弧）、弓形、求弓形的面積（因為是封閉圖形）等．
（寫對一個給（1分），寫對兩個給2分）

（2）如圖，AB為弦，CD為弦，且AB與CD在圓內相交于點P．
結論：PA•PB=PC•PD．
證明：連接AD，BC，
∵∠APD=∠BPC，∠D=∠B
∴△APD∽△BPC
∴PA•PB=PC•PD；

（3）若點C和點E重合，
則由圓的對稱性，知點C和點D關于直徑AB對稱，（8分）
設∠BAC=x，則∠BAD=x，∠ABC=90°-x，（9分）
又D是

ABC

的中點，所以2∠CAD=∠CAD+∠ACD=180°-∠ABC，
即2•2x=180°-（90°-x），（10分）
解得x=∠BAC=30°．（11分）
（若求得AB=

3

2

AC或AF=3•FB等也可，評分可參照上面的標準；也可以先直覺猜測點B、C是圓的十二等分點，然后說明．）

點評：本題主要考查了垂徑定理以及相交弦定理的證明過程，正確理解題意，讀懂圖意是解決本題的關鍵．