Question

（2010•丹東）如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（-8，0），點N的坐標為（-6，-4）．
（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉180°的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應點為A，點N的對應點為B，點H的對應點為C）；
（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式；
（3）截取CE=OF=AD=m，且E，F，D分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFD的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；面積S是否存在最小值？若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；
（4）在（3）的情況下，四邊形BEFD是否存在鄰邊相等的情況？若存在，請直接寫出此時m的值，并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用點關于中心對稱性質，畫出梯形OABC，分別求出各點的坐標．
（2）因為已知A，B，C三點的坐標，所以可用待定系數法求出過此三點拋物線的解析式；
（3）根據梯形及三角形的面積公式可求出四邊形BEFD的面積S與m之間的函數關系式，因為在梯形AOBE中，OA最短為4，故m的取值范圍為0＜m＜4．根據S與m之間的關系式可知當m=4時，S取最小值．又因為m=4時，原函數是無意義，故不存在m值，使S取得最小值．
（4）此題應分四種情況討論：①BE=FE，②FD=DB，③DB=BE，④FE=FD．
解答：解：（1）利用中心對稱性質，畫出梯形OABC．（1分）
∵A，B，C三點與M，N，H分別關于點O中心對稱，
∴A（0，4），B（6，4），C（8，0）（3分）
（寫錯一個點的坐標扣1分）．

（2）設過A，B，C三點的拋物線關系式為y=ax²+bx+c，
∵拋物線過點A（0，4），
∴c=4．則拋物線關系式為
y=ax²+bx+4．（4分）
將B（6，4），C（8，0）兩點坐標代入關系式，
得（5分）
解得（6分）
所求拋物線關系式為：y=-x²+x+4．（7分）

（3）∵OA=4，OC=8，
∴AF=4-m，OE=8-m．（8分）
∴S_{四邊形EFDB}=S_梯形ABCO-S_△ADF-S_△EOF-S_△BEC
=OA（AB+OC）AF•ADOE•OFCE•OA
=×4×（6+8）-m（4-m）-m（8-m）-×4m
=m²-8m+28（0＜m＜4）（10分）
∵S=（m-4）²+12．
∴當m=4時，S的取最小值．
又∵0＜m＜4，
∴不存在m值，使S的取得最小值．（12分）

（4）①BE=FE，顯然不成立；
②FD=DB；根據勾股定理列方程得（4-m）²+m²=（6-m）²，
解得m=-2+2或m=-2-2（負值舍去）．
③DB=BE；且BE⊥CO時，因為BE=4，則DB=4，m=AB-DB=6-4=2．
④FE=FD；
根據勾股定理列方程得（4-m）²+m²=6²+m²，
整理得m²-8m-20=0，m=-2或m=10，
經檢驗均不合題意．
∴當m=-2+2時，DB=DF，當m=2時，BE=BD．（14分）
點評：本題結合梯形的性質考查二次函數的綜合應用，注意某個圖形無法解答時，常常放到其他圖形中，利用圖形間的“和差“關系求解．要充分利用圖形特點，為解題提供思路．