Question

如圖，CD切⊙O于點D，連結OC，交⊙O于點B，過點B作弦AB⊥OD，點E為垂足，已知⊙O的半徑為15，sin∠COD=．
求：（1）弦AB的長；
（2）CD的長；
（3）線段DE、線段BE與弧DB圍成的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）sin∠COD=，可得∠COD=60°，由弦AB⊥OD，根據三角函數的性質與垂徑定理，即可求得弦AB的長；
（2）由CD切⊙O于點D，可得OD⊥CD，繼而求得CD的長；
（3）由S=S_扇形BOD-S_△BOE，即可求得答案．
解答：解：（1）∵sin∠COD=，
∴∠COD=60°，
∵弦AB⊥OD，⊙O的半徑為15，
∴AE=BE=OB•sin60°=15×=，
∴AB=AE+BE=15；

（2）∵CD切⊙O于點D，
∴OD⊥CD，
在Rt△OCD中，OD=15，∠COD=60°，
∴CD=OD•tan60°=15×=15；

（3）在Rt△OBE中，OE=OB•cos60°=15×=，
S=S_扇形BOD-S_△BOE=×π×15²-××=25π-．
點評：此題考查了切線的性質、垂徑定理、扇形的面積以及三角函數的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．