Question

29、閱讀探究題：數學課上，張老師向大家介紹了等腰三角形的基本知識：有兩條邊相等的三角形叫等腰三角形，如圖1所示：在△ABC中，若AB=AC，則△ABC為等腰三角形且有∠B=∠C．此時，張老師出示了問題：如圖2，四邊形ABCD是正方形（正方形的四邊相等，四個角都是直角），點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，求證：AE=EF．經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：在線段AB上取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，在此基礎上，請聰明的同學們作進一步的研究：
（1）求出角∠AME的度數；
（2）你能在小明的思路下證明結論嗎？
（3）小穎提出：如圖3，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

Answer 1

分析：（1）運用正方形的性質，得出BM=BE，即可解決，
（2）運用三角形的全等證明，得出線段相等．
（3）仿照（2）中輔助線的做法，證明三角形全等．

解答：解：（1）∵在線段AB上取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，
∴BM=BE，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°；

（2）證明：在線段AB上取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，
∵點E是邊BC的中點．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠MAE=∠FEC，EC=AM，
∴△AME≌△CEF，
∴AE=EF；

（3）證明：在線段AB上取AB邊上的點N，連接NE，則AN=EC，
∵點E是邊BC邊上的點．∠AEF=90°，且EF交∠DCG的平分線CF于點F，
∴∠FCG=45°，
∴∠ECF=135°，
∵∠ANE=90°+45°=135°，
∴∠ECF=∠ANE=135°，
∵∠FEC+∠AEB=90°，∠AEB+∠BAE=90°，
∴∠NAE=∠FEC，EC=AN，∠ECF=∠ANE=135°，
∴△ANE≌△CEF，
∴AE=EF．

點評：此題主要考查了正方形的性質與三角形全等的證明，綜合性較強，層層遞進比較典型．