Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，BC=12，E為邊AC的中點，

（1）如圖1，過點E作EH⊥BC,垂足為點H，求線段CH的長；

（2）作線段BE的垂直平分線分別交邊BC、BE、AB于點D、O、F.

①如圖2，當∠BAC=90°時，求BD的長；

②如圖3，設tan∠ACB=x，BD=y，求y與x之間的函數表達式和tan∠ACB的最大值.

Answer 1

【答案】（1）3（2）5（3）①②

【解析】試題分析：（1）點A作AG⊥BC交BC于點G，則EH∥AG，由等腰三角形的性質得CG=6,再由E為AC中點可得H為CG的中點.

（2）①過點E作于點H，設，在Rt△EDH中可得，解方程求出x的值；由 ，可得， ，在中，根據勾股定理列出關系式，然后整理可得y與x之間的函數表達式；求tan∠ACB的最大值有兩種方法一是利用正切的增減性，二是利用數形結合.

解：（1）點A作AG⊥BC交BC于點G.

∵，

∴，

∵E為AC中點，EH∥AG，

∴H為CG的中點，∴CH=3，

⑵①過點E作于點H，

∵△ABC是等腰直角三角形，則CH=EH=3，

設，則， ，

Rt△EDH中， ，

解之得， ，

即BD=5，

②∵ ，

∴， ，

在中，

，

∴，

方法一：由得， ，

當y有最大值時，x有最大值.即tan∠ACB有最大值.

∴當y=12時， ， （負的舍去），

∴tan∠ACB最大值為，

或方法二：當點D與點C重合時，tan∠ACB最大，

，

.

BC邊的高為，

此時tan∠ACB=.