Question

如圖，已知AB為圓O的弦（非直徑），E為AB的中點，EO的延長線交圓于點C，CD∥AB，且交AO的延長線于點D．EO：OC=1：2，CD=4，求圓O的半徑．

Answer 1

分析：根據E為AB的中點，則OE⊥AB，根據CD∥AB，可以得到△AEO∽△DCO，根據相似三角形的對應邊的比相等，可以求出AE，在Rt△AOE中，根據勾股定理，就得到半徑．

解答：解：∵E是AB的中點，
∴OE⊥AB，即∠3=90°，（1分）
∵AB∥CD，∴∠4=90°，（2分）
∵∠1=∠2，（3分）
∴△AOE∽△DOC，（4分）
∴AE：DC=OE：OC=1：2，（5分）
∴AE=

1

2

CD=2，（6分）
又∵OA=OC=2OE，（7分）
而AE²+OE²=OA²，
∴OE²+4=（2OE）²，
∴OE=

2

3

3

，（8分）
∴圓O的半徑OA=2OE=

2

3

3

×2=

4

3

3

．（9分）

點評：本題主要考查了垂徑定理，利用勾股定理把求半徑的問題轉化為解方程的問題．