Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3（a≠0）的頂點為E，該拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，且BO=OC=3AO，直線y=﹣ x+1與y軸交于點D．

（1）求拋物線的解析式；
（2）證明：△DBO∽△EBC；
（3）在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使△PBC是等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的P點坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線y=ax2+bx﹣3，

∴c=﹣3，

∴C（0，﹣3），

∴OC=3，

∵BO=OC=3AO，

∴BO=3，AO=1，

∴B（3，0），A（﹣1，0），

∵該拋物線與x軸交于A、B兩點，

∴ ，

∴ ，

∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3

（2）

證明：由（1）知，拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴E（1，﹣4），

∵B（3，0），A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴BC=3 ，BE=2 ，CE= ，

∵直線y=﹣ x+1與y軸交于點D，

∴D（0，1），

∵B（3，0），

∴OD=1，OB=3，BD= ，

∴ ， ， ，

∴ ，

∴△BCE∽△BDO

（3）

解：存在，

理由：設P（1，m），

∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴BC=3 ，PB= ，PC= ，

∵△PBC是等腰三角形，

①當PB=PC時，

∴ = ，

∴m=﹣1，

∴P（1，﹣1），

②當PB=BC時，

∴3 = ，

∴m=± ，

∴P（1， ）或P（1，﹣ ），

③當PC=BC時，

∴3 = ，

∴m=﹣3± ，

∴P（1，﹣3+ ）或P（1，﹣3﹣ ），

∴符合條件的P點坐標為P（1，﹣1）或P（1， ）或P（1，﹣ ）或P（1，﹣3+ ）或P（1，﹣3﹣ ）

【解析】（1）先求出點C的坐標，在由BO=OC=3AO，確定出點B，A的坐標，最后用待定系數法求出拋物線解析式；（2）先求出點A，B，C，D，E的坐標，從而求出BC=3 ，BE=2 ，CE= ，OD=1，OB=3，BD= ，求出比值，得到 得出結論；（3）設出點P的坐標，表示出PB，PC，求出BC，分三種情況計算即可．此題是二次函數綜合題，主要考查了點的坐標的確定方法，兩點間的距離公式，待定系數法，等腰三角形的性質，相似三角形的判定，解本題的關鍵是判斷△BCE∽△BDO．難點是分類．