Question

【題目】如圖，已知點E是ABCD中BC邊的中點，若∠ABE=∠BAE=60°，BC=4，連接AE并延長交DC的延長線于點F．
（1）連接AC，BF，求證：四邊形ABFC為矩形；
（2）求四邊形ABFC的周長和面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴AB∥DC．

∴∠ABE=∠ECF．

又∵點E為BC的中點，∴BE=CE．

在△ABE和△FCE中，

∴△ABE≌△FCE（ASA）．

∴AB=CF．

又AB∥CF，

∴四邊形ABFC為平行四邊形．

∴AE=EF．

∵∠ABE=∠BAE=60°，

∴AE=BE，即AF=BC

∴四邊形ABFC為矩形

（2）解：∵在矩形ABFC中，∠ABE=∠BAE=60°，BC=4

∴△ABE是等邊三角形，

∴AB=BE=2．

∴AC= =2 ．

∴四邊形ABFC的周長=2（AB+AC）=2（2+2）=4+4．

S四邊形ABFC=2 ×2=4

【解析】（1）利用ASA可得出三角形ABE與三角形FCE全等；進而得出AB=FC，即可得出四邊形ABFC是平行四邊形，再由直角三角形的判定方法得出△BFC是直角三角形，即可得出平行四邊形ABFC是矩形．（2）由等邊三角形的性質得出∠AFC=60°，AF=DF=4，得出CF=CD=2，由矩形的性質得出∠ACF=90°，得出AC= CF=2 ，即可得出四邊形ABFC的面積=ACCF=4 ．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解平行四邊形的性質的相關知識，掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．