Question

如圖，已知拋物線的頂點為A（0，1），矩形CDEF的頂點C、F在拋物線上，D、E在軸上，CF交y軸于點B（0，2），且其面積為8。
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若P點為拋物線上不同于A的一點，連結PB并延長交拋物線于點Q，過點P、Q分別作x軸的垂線，垂足分別為S、R。
①求證：PB=PS；
②判斷△SBR的形狀；
③試探索在線段SR上是否存在點M，使得以點P、S、M為頂點的三角形和以點Q、R、M為頂點的三角形相似，若存在，請找出M點的位置；若不存在，請說明理由。

Answer 1

解：（1）DE=8， ∴F（2，2）， ∴； （2）①設P（2a，a2+1）， 則PS=a2+1， 又， ∴ ∴PB=PS； ②同理，QB=QR， ∴， 同理，， ∴∠QBR+∠PBS=90°， ∴∠RBS=90°， △SBR是直角三角形； ③設P（2a，a2+1）， 由B（0，2）， 又RS=， 假設存在M，使對應三角形相似，則 是RS中點， 與原點O重合， ∴存在點M，是對應三角形相似， 此時，M是RS中點或M與點O重合。