Question

根據一元二次方程根的定義，解答下列問題．
一個三角形兩邊長分別為3cm和7cm，第三邊長為a cm，且整數a滿足a²-10a+21=0，求三角形的周長．
解：由已知可得4＜a＜10，則a可取5，6，7，8，9．（第一步）
當a=5時，代入a²-10a+21=5²-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根．
同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根．
∴a=7是方程的根．（第二步）
∴△ABC的周長是3+7+7=17（cm）．
上述過程中，第一步是根據________，第二步應用了________數學思想，確定a的值的大小是根據________．

Answer 1

三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊    分類討論    方程根的定義
分析：先根據題意求出方程的解，再根據三角形的三邊關系判斷出第三邊的長，進而求出其周長即可．
解答：由已知可得4＜a＜10，則a可取5，6，7，8，9．（第一步）
當a=5時，代入a²-10a+21=5²-10×5+21≠0，故a=5不是方程的根．
同理可知a=6，a=8，a=9都不是方程的根．
∴a=7是方程的根．（第二步）
∴△ABC的周長是3+7+7=17（cm）．
上述過程中，第一步是根據三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，第二步應用了 分類討論數學思想，確定a的值的大小是根據 方程根的定義．
故答案為：三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，分類討論，方程根的定義．
點評：考查了一元二次方程的解和三角形三邊關系，解答此題應根據三角形三邊之間的關系判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解．