Question

如圖，在直角梯形OABC中，OA、OC邊所在直線與x、y軸重合，BC∥OA，點B的坐標為（6. 4，4. 8），對角線OB⊥OA．在線段OA、AB上有動點E、D，點E以每秒2厘米的速度在線段OA上從點O向點A勻速運動，同時點D以每秒1厘米的速度在線段AB上從點A向點B勻速運動．當點E到達點A時，點D同時停止運動．設點E的運動時間為t（秒），

（1）求線段AB所在直線的解析式；

（2）設四邊形OEDB的面積為y，求y關于t的函數關系式，并寫出自變量的t的取值范圍；

（3）在運動過程中，存不存在某個時刻，使得以A、E、D為頂點的三角形與△ABO相似，若存在求出這個時刻t，若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）過點B作BH⊥OA，垂足為點H

∵∠COA=90°．BC∥OA∴∠BCO＝90°

∴四邊形COHB是矩形∴BH=CO，BC=OH

∵B（6. 4，4. 8）∴OH=6. 4，BH=4. 8

∴………………………………………………………………2分

∵OB⊥BA∴∠OBA=90°

∴∠OBA=∠OHB=90°

∵∠BOH=∠AOB

∴△BOH∽△BOA

∴

∴OB²=AO·OH

∴8²=OA·6. 4，OA=10    …………………………………………………………3分

∴AB=

∴A（10，0），設直線AB的解析式為

解得k=，

∴  ……………………………………………………………………4分

（2）過點D作DF⊥OA，垂足為F.

∴DF∥BH

∴△ADF∽△ABH

∴，，DF=0. 8   ……………………………………………5分

∵OE=2t，AE=10－2t

∴（0＜t≤5）………………………………………………………7分

（3）①∠ADE=90°∠BAO=∠DAE

當時，△ADE∽△ABO

解得 ………………………………………………………………9分

②∠AED=90°∵∠OAB=∠DAE

當時△AED∽△ABO

∴解得  ……………………………………………………10分

∴當或秒時，以A、E、D為頂點的三角形與△ABO相似………11分

【相關知識點】三角形相似，一次函數、二次函數，一元一次方程

【解題思路】將動點靜止在某一時刻，轉化為相關三角形的知識求解.