Question

若正整數(shù)a、b、c滿足方程a²+b²=c²，則稱這一組正整數(shù)（a、b、c）為“商高數(shù)”，
下面列舉五組“商高數(shù)”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），
注意這五組“商高數(shù)”的結(jié)構(gòu)有如下規(guī)律：

4=2×2×1 3=22-12 5=22+12

，

12=2×3×2 5=32-22 13=32+22

，

6=2×3×1 8=32-12 10=32+12

，

24=2×4×3 7=42-32 25=42+32

，

16=2×4×2 12=42-22 20=42+22

根據(jù)以上規(guī)律，回答以下問題：
（1）商高數(shù)的三個(gè)數(shù)中，有幾個(gè)偶數(shù)，幾個(gè)奇數(shù)？
（2）寫出各數(shù)都大于30的兩組商高數(shù)；
（3）用兩個(gè)正整數(shù)m、n（m＞n）表示一組商高數(shù)，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

（1）有一個(gè)偶數(shù)、兩個(gè)奇數(shù)或三個(gè)偶數(shù)；

（2）（40，42，58），（119，120，169）；

（3）a=2mn，b=m²-n²，c=m²+n²
證明：a²+b²=（2mn）²+（m²-n²）²
=4m²n²+m⁴-2m²n²+n⁴
=m⁴+2m²n²+n⁴=（m²+n²）²
∴a²+b²=c²．