Question

如圖這是某次運動會開幕式上點燃火炬時在平面直角坐標系中的示意圖，在地面有O、A兩個觀測點，分別測得目標點火炬C的仰視角為α、β，OA=2米，tanα=，tanβ=，位于點O正上方2米處的D點發射裝置，可以向目標C發射一個火球點燃火炬，該火球運行的軌跡為一拋物線，當火球運行到距地面最大高度20米時，相應的水平距離為12米（圖中E點）．
（1）求火球運行軌跡的拋物線對應的函數解析式；
（2）說明按（1）中軌跡運行的火球能否點燃目標C．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題是拋物線的問題，要充分運用拋物線在直角坐標系中的解析式解題，由已知得拋物線的頂點及經過一點，可設拋物線解析式的頂點式．
（2）確定C點坐標，根據已知條件，需要解直角三角形；作CF⊥x軸，垂足為F，把問題轉化到直角三角形中解決．
解答：解：（1）已知頂點E（12，20）可設火球運行拋物線解析式為
y=a（x-12）²+20，
把點D（0，2）代入解析式，
得a=-，
∴火球運行軌跡的拋物線對應的函數解析式為：
y=-（x-12）²+20=-x²+3x+2；

（2）設C（x₁，y₁），作CF⊥x軸，垂足為F，
則tanα==，
在Rt△AFC中，tanβ==，
解以上兩個分式方程得x₁=20，y₁=12，即C（20，12），
代入y=-x²+3x+2適合，
所以點C在拋物線上，故能點燃目標．
點評：本題既是實際問題，又綜合了幾方面的知識，解這類問題，需要逐層分析，逐步解答，由易到難．