Question

某工廠現有甲種原料360kg，乙種原料290kg，計劃用它們生產A、B兩種產品共50件，已知每生產一件A種產品，需要甲種原料9kg、乙種原料3kg，獲利700元，生產一件B種產品，需要甲種原料4kg、乙種原料10kg，可獲利1200元．
（1）利用這些原料，生產A、B兩種產品，有哪幾種不同的方案？
（2）設生產兩種產品總利潤為y（元），其中生產A中產品x（件），試寫出y與x之間的函數解析式．
（3）利用函數性質說明，采用（1）中哪種生產方案所獲總利潤最大？最大利潤是多少？

Answer 1

（1）符合的生產方案有三種，分別為①生產A產品30件，B產品20件；②生產A產品31件，B產品19件；③生產A產品32件，B產品18件；（2）；（3）第一種方案，45000．

試題分析：（1）關系式為：A種產品需要甲種原料數量+B種產品需要甲種原料數量≤360；A種產品需要乙種原料數量+B種產品需要乙種原料數量≤290，把相關數值代入即可；解不等式，得到關于x的范圍，根據整數解可得相應方案
（2）總獲利=700×A種產品數量+1200×B種產品數量；
（3）根據函數的增減性和（1）得到的取值可得最大利潤．
試題解析：（1）；解第一個不等式得：，解第二個不等式得：，∴，∵為正整數，∴=30、31、32，∴50﹣30=20，50﹣31=19，50﹣32=18，∴符合的生產方案有三種，分別為①生產A產品30件，B產品20件；②生產A產品31件，B產品19件；③生產A產品32件，B產品18件；
（2），
（3）∵，﹣500＜0，而，∴當越小時，總利潤越大，即當時，最大利潤為：元．∴生產A產品30件，B產品20件使生產A、B兩種產品的總獲利最大，最大利潤是45000元．