Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中點，點E、F分別在AC、BC邊上運動（點E不與點A、C重合），且保持AE=CF，連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，有下列結論：
①△DFE是等腰直角三角形；
②四邊形CEDF不可能為正方形；
③四邊形CEDF的面積隨點E位置的改變而發生變化；
④點C到線段EF的最大距離為 ．
其中正確結論的個數是（ ）

A.1個
B.2個
C.3個
D.4個

Answer 1

【答案】B
【解析】解：①連接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵AE=CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．（故①正確）；
②當E、F分別為AC、BC中點時，四邊形CDFE是正方形（故②錯誤）；
③如圖2所示，分別過點D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于點M，N，
可以利用割補法可知四邊形CEDF的面積等于正方形CMDN面積，故面積保持不變（故③錯誤）；
④△DEF是等腰直角三角形， DE=EF，
當EF∥AB時，∵AE=CF，
∴E，F分別是AC，BC的中點，故EF是△ABC的中位線，
∴EF取最小值 =2 ，∵CE=CF=2，∴此時點C到線段EF的最大距離為 EF= ．（故④正確）；
故正確的有2個，
故選：B．


【考點精析】關于本題考查的等腰直角三角形，需要了解等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°才能得出正確答案．