Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E為CD的中點，EF∥AB交BC于點F
（1）求證：BF=AD+CF；
（2）當AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC時，求EF的長．

Answer 1

分析：（1）先作AD與EF的延長線，結合已知條件和三角形的相似性質，得出△NDE≌△FCE，然后由平行四邊形的性質及判定得出結論．
（2）根據角平分線的性質得出∠1=∠2，再由AB∥EF，得出∠1=∠BEF，∠BEF=∠2，EF=BF，EF=BF=

AD+BC

2

，從而得到結論．

解答：（1）證明：
證法一：如圖（1），延長AD交FE的延長線于N
∵AD∥BC，∠C=90°
∴∠NDE=∠FCE=90°
又∵E為CD的中點，
∴DE=EC，
∵∠DEN=∠FEC，
在△NDE和△FCE

∠NDE=∠FCE ED=CE ∠DEN=∠CEF

，
∴△NDE≌△FCE（ASA）
∴DN=CF
∵AB∥FN，AN∥BF，
∴四邊形ABFN是平行四邊形
∴BF=AD+DN=AD+FC

證法二：如圖（2），過點D作DN∥AB交BC于N
∵AD∥BN，AB∥DN，
∴AD=BN，
∵EF∥AB，
∴DN∥EF
∴△CEF∽△CDN
∴

CE

DC

=

CF

CN

∵

CE

DC

=

1

2

，
∴

CF

CN

=

1

2

，即NF=CF
∴BF=BN+NF=AD+FC

（2）解：∵AB∥EF，
∴∠1=∠BEF，
∵∠1=∠2，
∴∠BEF=∠2，
∴EF=BF，
∵BF=BN+NF=AD+CF，
∴EF=BF=AD+CF=AD+BC-BF=1+7-BF，
∴2BF=8，
∴BF=4，
∴EF=4．
故EF的長為4．

點評：本題考查三角形的相似性質、平行四邊形的性質及判定以及角平分線的性質的綜合運用．