Question

【題目】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑作⊙O交AC于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F．且BD=BF．
（1）求證：AC與⊙O相切．
（2）若BC=6，AB=12，求⊙O的面積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OE，

∵OD=OE，

∴∠ODE=∠OED，

∵BD=BF，

∴∠ODE=∠F，

∴∠OED=∠F，

∴OE∥BF，

∴∠AEO=∠ACB=90°，

∴AC與⊙O相切

（2）解：由（1）知∠AEO=∠ACB，又∠A=∠A，

∴△AOE∽△ABC，

∴ ，

設(shè)⊙O的半徑為r，則 ，

解得：r=4，

∴⊙O的面積π×42=16π

【解析】（1）連接OE，求出∠ODE=∠F=∠DEO，推出OE∥BC，得出OE⊥AC，根據(jù)切線的判定推出即可；（2）證△AEO∽△ACB，得出關(guān)于r的方程，求出r即可．