Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，點E為BC的中點．連接AE，將△ABE沿AE折疊，點B落在點F處，連接CF，現將△CEF繞點E順時針旋轉α角（其中0°≤α≤180°）得到△EC1F1 ， 旋轉過程中，直線C1F1分別交射線EC、射線AE于點M、N，當EM=EN時，則CM= ．

Answer 1

【答案】6﹣
【解析】解：如圖作EK⊥FC，EJ⊥MN垂足分別為K、J，延長JE交AB于G，作GH⊥AE垂足為H．
∵四邊形ABCD是矩形，AB=8，BC=12，BE=EC
∴∠B=90°，BE=6，AE= =10，
∵△AEF是△AEB翻折，
∴∠B=∠AFE=90°，∠BAE=∠EAF，
∴∠BAF+∠BEF=180°，
∵∠BEF+∠FEC=180°，
∴∠FEC=∠BAF，
∵EF=EC，EK⊥FC，
∴∠FEK=∠CEK，
∴∠BAE=∠CEK，
∵∠ABE=∠EKF，
∴△ABE∽△EKF，
∴ ，即 ，
∴EK= ，
∵△EC1F1是由△EFC旋轉，EK⊥FC，EJ⊥F1C1 ，
∴EJ=EK= ，
∵EM=EN，EJ⊥MN，
∴∠MEJ=∠NEJ，
∵∠GEB=∠MEJ，∠GEH=∠NEJ，
∴∠GEB=∠GEH，∵GB⊥BE，GH⊥HE，
∴GB=GH，設GB=GH=x，
在RT△AGH中，由AG2=GH2+AH2 ， 得（8﹣x）2=x2+42 ，
∴x=3，
∴BG=GH=3，AG=5，
∴EG= =，3 ，
∵∠BEG=∠MEJ，∠B=∠EJM=90°，
∴△EBG∽△EJM，
∴ ，
∴ ，
∴EM= ，
∴CM=EC﹣EM=6﹣ ．
所以答案是6﹣ ．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解翻折變換（折疊問題）的相關知識，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，對稱軸是對應點的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應邊和角相等，以及對旋轉的性質的理解，了解①旋轉后對應的線段長短不變，旋轉角度大小不變；②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變；③旋轉后物體或圖形不變，只是位置變了．