Question

【題目】如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向過點A的直線作垂線，垂足分別為點E，F．
（1）如圖（1），過A的直線與斜邊BC不相交時，求證：①△ABE≌△CAF； ②EF=BE+CF

（2）如圖（2），過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，若BE=10，CF=3，試求EF的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：

①∵BE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AEB=∠CFA=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠BAC=90°，

∴∠EAB+∠FAC=90°，

∴∠EBA=∠FAC，

在△AEB與△CFA中

∴△ABE≌△CAF（AAS），

②∵△ABE≌△CAF，

∴EA=FC，EB=FA，

∴EF=AF+AE

=BE+CF

（2）解：∵BE⊥AF，CF⊥AF

∴∠AEB=∠CFA=90°

∴∠EAB+∠EBA=90°

∵∠BAC=90°

∴∠EAB+∠FAC=90°

∴∠EBA=∠FAC，

在△AEB與△CFA中

∴△ABE≌△CAF（AAS），

∴EA=FC，EB=FA，

∴EF=FA﹣EA=EB﹣FC=10﹣3=7

【解析】（1）①由條件可求得∠EBA=FAC，利用AAS可證明△ABE≌△CAF；②利用全等三角形的性質可得EA=FC，EB=FA，利用線段的和差可證得結論；（2）同（1）可證明△ABE≌△CAF，可證得EF=FA﹣EA，代入可求得EF的長．