Question

【提出問題】

如圖①，在梯形ABCD中，AD//BC，AC、BD交于點E，∠BEC＝n°，若AD＝a，BC＝b，則梯形ABCD的面積最大是多少？

【探究過程】

小明提出：可以從特殊情況開始探究，如圖②，在梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，若AD＝3，BC＝7，則梯形ABCD的面積最大是多少？

如圖③，過點D做DE//AC交BC的延長線于點E，那么梯形ABCD的面積就等于△DBE的面積，求梯形ABCD的面積最大值就是求△DBE的面積最大值．如果設AC＝x，BD＝y，那么S_△DBE＝xy．

以下是幾位同學的對話：

A同學：因為y＝，所以S_△DBE＝x，求這個函數的最大值即可．

B同學：我們知道x²＋y²＝100，借助完全平方公式可求S_△DBE＝xy的最大值

C同學：△DBE是直角三角形，底BE＝10，只要高最大，S_△DBE就最大，我們先將所有滿足BE＝10的直角△DBE都找出來，然后在其中尋找高最大的△DBE即可．

（1）請選擇A同學或者B同學的方法，完成解題過程．

（2）請幫C同學在圖③中畫出所有滿足條件的點D，并標出使△DBE面積最大的點D₁．（保留作圖痕跡，可適當說明畫圖過程）

【解決問題】

根據對特殊情況的探究經驗，請在圖①中畫出面積最大的梯形ABCD的頂點D₁，并直接寫出梯形ABCD面積的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）25；（2）如下圖；（3）如下圖，S_梯形ABCD最大值為：

【解析】

試題分析：（1）選擇A同學，由S_△DBE＝＝即可作出判斷；選擇B同學，根據三角形的面積公式即可作出判斷；

（2）（3）先根據題意作出恰當的圖形，即可求得結果.

（1）選擇A同學．

S_△DBE＝＝，

當x²＝50，即x＝5，S_△DBE取最大值25．

選擇B同學．

方法一：S_△DBE＝xy＝×2xy≤（x²＋y²）＝25

當x＝y＝5時，S_△DBE取最大值25．

方法二：S_△DBE＝xy＝[（x²＋y²）－（x－y）²]＝ [100－（x－y）²]，

當（x－y）²＝0，即x＝y＝5時，S_△DBE取最大值25；

（2）如圖所示，點D₁即為所求的點

（3）如圖所示：

S_梯形ABCD最大值為：

考點：圓的綜合題

點評：此類問題是初中數學的重點和難點，在中考中極為常見，一般以壓軸題形式出現，難度較大.