Question

【題目】如圖，等腰△ABC中，底邊BC長為8，腰長為6，點D是BC邊上一點，過點B作AC的平行線與過A、B、D三點的圓交于點E，連接DE，則DE的最小值是___．

Answer 1

【答案】2．

【解析】

如圖，連接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．首先證明∠EOD＝2∠C＝定值，推出⊙O的半徑最小時，DE的值最小，推出當AB是直徑時，DE的值最小．

如圖，連接AE，AD，OE，OD，作AJ⊥BC于J，OK⊥DE于K．

∵BE∥AC，

∴∠EBC+∠C＝180°，

∵∠EBC+∠EAD＝180°，

∴∠EAD＝∠C，

∵∠EOD＝2∠EAD，

∴∠EOD＝2∠C＝定值，

∴⊙O的半徑最小時，DE的值最小，

∴當AB是⊙O的直徑時，DE的值最小，

∵AB＝AC＝6，AJ⊥BC，

∴BJ＝CJ＝4，

∴AJ＝＝＝2，

∵OK⊥DE，

∴EK＝DK，

∵AB＝6，

∴OE＝OD＝3，

∵∠EOK＝∠DOK＝∠C，

∴sin∠EOK＝sin∠C＝，

∴＝，

∴EK＝，

∴DE＝2，

∴DE的最小值為2．

故答案為2．