Question

【題目】已知△ABC是等邊三角形，點P是平面內一點，且四邊形PBCD為平行四邊形，將線段CD繞點C逆時針旋轉60°，得到線段CF

(1)如圖1，當P為AC的中點時，求證：FC⊥PD.

(2)如圖2，當P為△ABC內任一點時，連接PA、PF、AF，試判斷△PAF的形狀，并證明你的結論.

(3)當B、P、F三點共線且AB=，PB=3時，求PA的長.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）△PAF是等邊三角形，證明見解析；（3）PA的長為2或5．

【解析】

（1）如圖1，利用等邊三角形和平行四邊形的性質求得∠FCD+∠D＝90°即得結論；

（2）△PAF是等邊三角形．如圖2，延長BC，先利用等邊三角形的性質和平行四邊形的性質證得∠2＝∠4，再根據SAS證明△ABP≌△ACF，進一步根據等邊三角形的判定定理即可證得結論；

（3）需要分類討論：當點P在線段BF上和當點P落在線段FB的延長線上兩種情況，通過作輔助線，構造直角三角形，再結合勾股定理即可求出結果．

（1）證明：如圖1，設FC、PD交于點M，

∵△ABC是等邊三角形，P為AC的中點，

∴∠PBC＝∠ABC＝×60°＝30°，

∵四邊形PBCD為平行四邊形，

∴∠D＝∠PBC＝30°．

∵∠FCD＝60°，

∴∠FCD+∠D＝90°，

∴∠CMD＝90°，

∴FC⊥PD；

（2）△PAF是等邊三角形，理由如下：

如圖2，延長BC，∵△ABC為等邊三角形，

∴AB＝AC，∠ABC＝∠ACB＝60°，

∴∠2＝60°﹣∠1，∠4＝180°﹣60°﹣60°﹣∠3＝60°﹣∠3．

∵四邊形PBCD是平行四邊形，

∴PB∥CD，PB＝CD＝FC．

∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠4．

又AB＝AC，PB＝FC，

∴△ABP≌△ACF（SAS）．

∴AP＝AF，∠BAP＝∠CAF．

∵∠BAP+∠PAC＝60°，

∴∠PAC+∠CAF＝∠PAF＝60°，

∴△PAF是等邊三角形；

（3）①當點P在線段BF上時，如圖3，過A作AE⊥BF于E，由（2）可得∠APF＝60°，

設PE＝x，則AE＝x，

于是在Rt△ABE中，根據勾股定理得：，

解得：x1＝1，x2＝（不合題意，舍去）

∴PA＝2x＝2；

②當點P落在線段FB的延長線上時，如圖4，過B作BE⊥PA于E，

則在Rt△PBE中，PB＝3，由（2）可得∠BPE＝60°，∴∠PBE＝30°．

∴PE＝，BE＝．

在Rt△ABE中，AB＝，BE＝，∴AE＝，

∴PA＝PE+AE＝5．

由于P點不可能在線段BF的延長線上，所以， PA的長為2或5．