Question

【題目】在直角坐標系中，O為坐標原點，點A坐標為（1，0），以OA為邊在第一象限內作等邊△OAB，C為x軸正半軸上的一個動點（OC＞1），連接BC，以BC為邊在第一象限內作等邊△BCD，直線DA交y軸于E點．

（1）如圖，當C點在x軸上運動時，設AC=x，請用x表示線段AD的長；
（2）隨著C點的變化，直線AE的位置變化嗎？若變化，請說明理由；若不變，請求出直線AE的解析式．
（3）以線段BC為直徑作圓，圓心為點F，當點C坐標為多少時直線EF∥直線BO？這時OF和直線BO的位置關系如何？請給予證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵△OAB和△BCD都為等邊三角形，

∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，

∴∠OBC=∠ABD，

在△OBC和△ABD中，

，

∴△OBC≌△ABD（SAS），

∴AD=OC=1+x

（2）解：隨著C點的變化，直線AE的位置不變．理由如下：

由△OBC≌△ABD，得到∠BAD=∠BOC=60°，

又∵∠BAO=60°，

∴∠DAC=60°，

∴∠OAE=60°，又OA=1，

在直角三角形AOE中，tan60°= ，則OE= ，

點E坐標為（0，﹣ ），A（1，0），

設直線AE解析式為y=kx+b，把E和A的坐標代入，得

，解得： ，

所以直線AE的解析式為y= x﹣

（3）解：根據題意畫出圖形，如圖所示1：

∵∠BOA=∠DAC=60°，EA∥OB，又EF∥OB，則EF與EA所在的直線重合，

∴點F為DE與BC的交點，

又F為BC中點，

∴A為OC中點，又AO=1，則OC=2，

∴當C的坐標為（2，0）時，EF∥OB；

這時直線BO與⊙F相切，理由如下：

∵△BCD為等邊三角形，F為BC中點，

∴DF⊥BC，又EF∥OB，

∴FB⊥OB，即∠FBO=90°，

故直線BO與⊙F相切

【解析】（1）根據等邊三角形的性質，可得∠OBA=∠DBC=60°，即∠OBA+∠ABC=∠DBC+∠ABC，根據等式的性質，可得∠OBC=∠ABD，，根據SAS得到△OBC≌△ABD，即可得到對應邊AD與OC相等，由OC表示出AD即可；（2）根據全等三角形的性質，可得∠BAD=∠BOC=60°，根據等邊三角形的性質，可得∠BAO=60°，根據平角定義及對頂角相等，可得∠OAE=60°，根據tan60°的定義求出OE的長，確定出點E的坐標，根據待定系數法，將點A和E的坐標代入即可確定出解析式；（3）根據平行線的性質，可得EF與EA重合，根據三角形的中位線，得A為OC中點，根據線段中點的性質，可得C的坐標；根據等邊三角形的性質，可得DFBC,根據平行線的性質，可得BF與OB垂直，根據切線的判定，可得答案。
【考點精析】關于本題考查的角的平分線和等邊三角形的性質，需要了解從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線；等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°才能得出正確答案．