Question

【題目】如圖，正方形OABC的面積為9，點O為左邊原點，點A在軸上，點C在軸上，點B在函數的圖象上，點P是函數圖象上的任意一點，過點P分別作軸、軸的垂線，垂足分別為E、F，并設矩形OEPF和正方形OABC不重合的部分（圖中陰影部分）的面積為S.

（1）求B點坐標和值；

（2）當時，求P點坐標.

Answer 1

【答案】（1）， ；（2）當時，P點坐標為或.

【解析】試題分析：（1）由正方形的面積，利用正方形的面積公式求出正方形的邊長，確定出OA及AB的長，得到點B的坐標，將B的坐標代入反比例函數解析式中即可求出k值；

（2）分兩種情況考慮：①當點P在點B的左邊時，不重合部分為矩形PMCF，將P的坐標代入第一問確定出的反比例函數解析式中，得到mn的值，根據P及B的坐標，表示出PM與CM，利用矩形的面積公式表示出矩形PMCF的面積，將mn的值及已知的面積代入，即可求出m的值，進而得到n的值，確定出此時P的坐標；②當點P在點B的右邊時，不重合部分為矩形ANPE，由P及B的坐標表示出AE及PE，利用矩形的面積公式表示出矩形ANPE的面積，將mn的值及已知的面積代入求出n的值，進而求出m的值，確定出此時P的坐標，綜上，得到所有滿足題意的P的坐標．

試題解析：解：（1）∵正方形OABC的面積為9，∴OA=OC=AB=BC=3，∴B（3，3）．又∵點B（3，3）在函數（k＞0，x＞0）的圖象上，∴將B的坐標代入反比例函數解析式得： =3，即k=9；

（2）分兩種情況：

①當點P在點B的左側時，矩形OEPF和正方形OABC不重合部分為矩形PFCM．∵P（m，n）在函數上，∴mn=9．∵PE=n，ME=BA=3，∴PM=PE﹣ME=n﹣3，又CM=OE=m，∴S=CMPM=m（n﹣3）=mn﹣3m=9﹣3m=，解得：m=1.5，可得n=6，∴點P的坐標為（1.5，6）；

②當點P在點B的右側時，矩形OEPF和正方形OABC不重合部分為矩形ANPE．∵P（m，n）在函數上，∴mn=9．∵OE=PF=m，NF=AO=3，AE=OE﹣OA=m﹣3，又PE=n，∴S=AEPE=n（m﹣3）=mn﹣3n=9﹣3n=，解得n=1.5，可得m=6，∴點P的坐標為（6，1.5）．

綜上所述：P的坐標為（1.5，6）或（6，1.5）．