Question

如圖，已知直線l：y=-2x+12交x軸于點A，交y軸于點B，點C在線段OB上運動（不與O、B重合），連接AC，作CD⊥AC，交線段AB于點D．
（1）求A、B兩點的坐標；
（2）當點D的縱坐標為8時，求點C的坐標；
（3）過點B作直線BP⊥y軸，交CD的延長線于點P，設OC=m，BP=n，試求n與m的函數關系式，并直接寫出m、n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據圖象與坐標軸交點坐標求法得出A、B兩點的坐標；
（2）根據點D的縱坐標為8，求出其橫坐標，進而利用相似求出C點坐標；
（3）利用相似三角形的性質與判定求出即可．

解答：解：（1）∵y=-2x+12交x軸于點A，交y軸于點B，
∴y=0時，x=6，∴點A坐標為：（6，0）；
x=0時，y=12，∴點B坐標為：（0，12）；

（2）過點D作DN⊥BO，
∵點D的縱坐標為8，
∴點D的橫坐標為：8=-2x+12，
解得：x=2，
∴點D的坐標為：（2，8）；
設CO=x，
∴CN=8-x，AO=6，DN=2，
∵CD⊥AC，
∴∠NCD+∠OCA=90°，
∵∠CAO+∠OCA=90°，
∴∠CAO=∠NCD，
∵∠COA=∠DNC=90°，
∴△COA∽△DNC，
∴

DN

CO

=

NC

AO

，
∴

2

x

=

8-x

6

，
解得：x₁=2，x₂=6，
∴點C的坐標為：（0，2），（0，6）；

（3）過點B作直線BP⊥y軸，交CD的延長線于點P，
∵∠NCD=∠CAO，
∠COA=∠CBP，
∴△COA∽△PBC，
∴

PB

BC

=

CO

AO

，
∵OC=m，BP=n，
則BC=12-m，CO=m，
∴

n

12-m

=

m

6

，
∴n=-

m2

6

+2m，（0＜n≤6，0＜m＜12）．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及一次函數與坐標軸交點求法，根據已知得出△COA∽△PBC和△COA∽△DNC是解決問題的很關鍵．