Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，給出如下定義：

對于⊙C及⊙C外一點P，M，N是⊙C上兩點，當∠MPN最大，稱∠MPN為點P關于⊙C的“視角”．直線l與⊙C相離，點Q在直線l上運動，當點Q關于⊙C的“視角”最大時，則稱這個最大的“視角”為直線l關于⊙C的“視角”．

（1）如圖，⊙O的半徑為1，

①已知點A（1，1），直接寫出點A關于⊙O的“視角”；已知直線y = 2，直接寫出直線y = 2關于⊙O的“視角”；

②若點B關于⊙O的“視角”為60°，直接寫出一個符合條件的B點坐標；

（2）⊙C的半徑為1，

①C的坐標為（1，2），直線l: y=kx + b（k > 0）經過點D（，0），若直線l關于⊙C的“視角”為60°，求k的值；

②圓心C在x軸正半軸上運動，若直線y =x +關于⊙C的“視角”大于120°，直接寫出圓心C的橫坐標xC的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）① 90，60；②本題答案不唯一，如：B (0，2)；（3）.

【解析】試題分析：

（1）由題意可知，點P關于⊙O的“視角”是指從點P引出兩條射線，當兩條射線和⊙O相切時，兩條射線所形成的的夾角就是點P關于⊙O的“視角”；直線關于⊙O的“視角”是指當直線與⊙O相離時，直線上的點Q距離圓心O最近時，點Q關于⊙O的“視角”就是直線關于⊙O的“視角”；由此可根據已知條件解答第一問；

（2）①由題意可知，若直線l關于⊙C的“視角”為60°，則說明在直線上存在一點P距離點C最近，且點P關于⊙C的“視角”為60°，則此時點P是與以點C為圓心，2為半徑的圓相切的切點，如圖1，過點C作CH⊥軸于點H，PE⊥軸于點E，由已知分析可得DP=DH=，∠PDE=60°，在△PDE中可求得DE和PE的長，得到點P的坐標，把P、D的坐標代入直線的解析式可求得k的值；

②如圖2，由已知易得直線與軸相交于點A（-1，0），與軸相交于點B（0， ），若此時直線關于⊙C的視角∠EPF=120°，由已知條件求得OC的長，可得點C的坐標；如圖3，當沿著軸向左移動時，直線關于⊙C的視角會變大，當直線和⊙C相切于點P時，由已知條件可求得OC的長，可得此時點C的坐標；綜合起來可得的取值范圍.

試題解析：

（1）①如下圖，當點A的坐標為（1，1）時，易得點A關于⊙O的視角為90°；

∵直線y=2上距離圓心O最近的點是直線y=2與y軸的交點P，過點P作⊙O的兩條切線PC、PD，切點為C、D，則直線y=2關于⊙O的視角是∠CPD，連接OD，由已知條件可求得∠OPD=30°，∴∠CPD=60°，即直線y=2關于⊙O的視角為60°.

②由①中第2小問可知，滿足條件的點B在以O為圓心，2為半徑的圓上，這樣的點很多，比如說點B（0，2）.

（2）①∵直線l: y=kx + b（k > 0）經過點D（，0），

∴.

∴.

∴直線l: .

設點P在直線上，若點P關于⊙C的“視角”為60°，則點P在以C為圓心，2為半徑的圓上．

∵直線l關于⊙C的 “視角”為60°，

∴此時，點P是直線l上與圓心C的距離最短的點.

∴CP⊥直線l.

即直線l是以C為圓心，2為半徑的圓的一條切線，如圖1所示．

作過點C作CH⊥軸于點H，PE⊥軸于點E，

∴點H的坐標為（1，0），

又∵點D的坐標為，

∴DH ==PD．

∴tan∠CDH=，

∴∠CDH=30°，∠PDH=60°，

∴DE=PDcos60°=，PE= PDsin60°=3，

∴OE=DH-DE-OH=，

∴點P的坐標（，3）．

把點P的坐標代入l: ，解得： k=．

②如圖2，由已知易得直線與軸相交于點A（-1，0），與軸相交于點B（0， ），

若此時直線關于⊙C的視角∠EPF=120°，

則∠EPC=60°，∠PEC=90°，CE=1，∴∠PCE=30°，

∴PC=，AC=，

∴OC=AC-OA=，

∴此時=；

如圖3，當沿著軸向左移動時，直線關于⊙C的視角會變大，當直線和⊙C相切于點P時，連接CP，

∵在△ABO中，AO=1，BO=，

∴tan∠BAO=，

∴∠BAO=60°，

∴AC=，

∴OC=AC-OA=，

∴此時=，

綜上所述， 的取值范圍為： .