Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，P為BC上一動點，將DP繞P逆時針旋轉90°，得到PE，連接EA，則△PAE面積的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】解：如圖，過E作EF⊥CB于F，EG⊥DA于G．設BP=a，則PC=2-a，∵EP⊥PD，∴∠EPF+∠DPC=90°，∵∠DPC+∠PDC=90°，∴∠EPF=∠PDC．在△EPF和△PDC中，∵∠EPF=∠PDC，∠EFP=∠C=90°，EP=PD，∴△EPF≌△PDC，∴EF=PC=2-a，FP=DC=2，∴FB=2-a．∵∠AGF=∠GFB=∠ABF=90°，∴四邊形GFBA是矩形，∴GA=FB=2-a，GF=AB=2，∴GE=a，∴△PAE的面積=梯形GFPA的面積－△AGE的面積－△EFP的面積

=（2-a+2）×2－×a(2-a)－×（2-a）×2= (a2-2a+4)= ，∵ ，∴當a=1時，△PAE的面積的最小值為．