Question

在平面直角坐標系XOY中，直線l₁過點A(1，0)且與y軸平行，直線l₂過點B(0，2)且與x軸平行，直線l₁與直線l₂相交于點P．點E為直線l₂上一點，反比例函數y＝(k＞0)的圖象過點E與直線l₁相交于點F．

(1)若點E與點P重合，求k的值；

(2)連接OE、OF、EF．若k＞2，且△OEF的面積為△PEF的面積的2倍，求E點的坐標；

(3)是否存在點E及y軸上的點M，使得以點M、E、F為頂點的三角形與△PEF全等？若存在，求E點坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)若點E與點D重合，則k＝1×2＝2； 　　(2)當k＞2時，如圖，點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形， 　　∵PF⊥PE， 　　∴S△FPE＝PE·PF＝(－1)(k－2)＝k2－k＋1， 　　∴四邊形PFGE是矩形， 　　∴S△PFE＝S△GEF， 　　∴S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△EGD－S△OCE＝·k－(k2－k＋1)－k＝k2－1 　　∵S△OEF＝2S△PEF， 　　∴k2－1＝2(k2－k＋1)， 　　解得k＝6或k＝2， 　　∵k＝2時，E、F重合， 　　∴k＝6， 　　∴E點坐標為：(3，2)； 　　(3)存在點E及y軸上的點M，使得△MEF≌△PEF， 　　①當k＜2時，如圖，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H， 　　 　　 　　分析：(1)根據反比例函數中k＝xy進行解答即可； 　　(2)當k＞2時，點E、F分別在P點的右側和上方，過E作x軸的垂線EC，垂足為C，過F作y軸的垂線FD，垂足為D，EC和FD相交于點G，則四邊形OCGD為矩形，再求出S△FPE＝k2－k＋1，根據S△OEF＝S矩形OCGD－S△DOF－S△EGD－S△OCE即可求出k的值，進而求出E點坐標； 　　(3)①當k＜2時，只可能是△MEF≌△PEF，作FH⊥y軸于H，由△FHM∽△MBE可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，求出k的值，進而可得出E點坐標； 　　②當k＞2時，只可能是△MFE≌△PEF，作FQ⊥y軸于Q，△FQM∽△MBE得，＝，可求出BM的值，再在Rt△MBE中，由勾股定理得，EM2＝EB2＋MB2，求出k的值，進而可得出E點坐標． 　　點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質，涉及到反比例函數的性質、全等三角形的判定與性質及勾股定理，解答此題的關鍵是根據題意作出輔助線，構造出相似三角形，利用相似三角形的性質解答．