Question

已知反比例函數y=和一次函數y=-2x-1，其中依次函數的圖象經過（a，b），（a+1，b+m）兩點．
（1）求反比例函數的解析式；
（2）如圖所示，已知點A在第二象限，且同時在上述兩個函數的圖象上，求點A的坐標；
（3）利用（2）的結果，試判斷在x軸上是否存在點P，使△AOP為等腰三角形？若存在，把符合條件的P點坐標都求出來；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）依題意可知：，
解得：m=-2．
∴反比例函數解析式為：y=-．

（2）由，
得，，
∵A點在第二象限，
∴點A的坐標為（-1，1）．

（3）如圖所示：

OA=，OA與x軸所夾銳角為45°．
①OA為腰時，
若OA=OP，則可得P₁（，0），P₂（-，0）；
若OA=AP，得P₃（-2，0）；
②OA為底時，P₄（-1，0）．
故這樣的點存在，共有四個，分別是P₁（，0），P₂（-，0），P₃（-2，0），P₄（-1，0）．
分析：（1）將（a，b），（a+1，b+m）代入一次函數解析式，可得出m的值，繼而得出反比例函數解析式；
（2）聯立兩解析式，可求出交點坐標，再由A在第二象限，可得點A的坐標；
（3）分兩種情況討論，①OA為腰，②OA為底，分別求出點P的坐標即可．
點評：本題考查了反比例函數的綜合，解答本題的關鍵是掌握整體代入思想、數形結合思想的綜合運用，難點在最后一問，注意分類討論，不要漏解．