Question

【題目】如圖，平面直角坐標系中，矩形的對角線，．

(1)把矩形沿直線對折，使點落在點處，折痕分別與、、相交于點、、，求直線的解析式；

(2)若點在直線上，平面內是否存在點，使以、、、為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在；N點坐標為：，，.

【解析】

（1）由含30度直角三角形性質，得OA=AC=12，然后求出OC，然后求得直線AC的解析式，由折疊知DE⊥AC，點F是AC中點，然后可以求得DE的解析式；

（2）分為①以OF，FM為邊；②以FM為邊，OF為對角線；③以OF為邊，FM為對角線，三類進行討論分析，然后可求N點坐標．

解：（1）根據題意，在直角三角形AOC中，∠AOC=90°，，，

∴，即點A為：（0，12），

由勾股定理，得，即點C為：（），

設直線AC的方程為，把A、C坐標代入，得

，解得：，

∴直線AC的方程為：，

根據折疊的性質，有DE⊥AC，點F是AC中點，

∴直線DE的斜率為：，點F為（），

則設直線DE的解析式為，把點F代入，得

，解得：，

∴直線DE的解析式為：；

（2）存在；

①以OF，FM為邊，如圖

由（1）知，直線DE的解析式為：，

令，則，

∴點D坐標為：，

∵ONMF是菱形

∴OF=ON，ON∥DE

∴直線ON的解析式為：，

設N點坐標為：（），

∴，，

∴，

解得：，

∴N點坐標為：；

②以FM為邊，OF為對角線；連接AD，CE，如圖：

由折疊知，四邊形ADCE是菱形，

∴AD=CD=，

∴∠DAC=∠DCA=30°，

∴∠OAD=30°，

∴∠OAD=∠DAC，AD=AD，∠AOD=∠AFD=90°，

∴△AOD≌△AFD，

∴AO=AF，OD=FD，

∴AD是OF 的垂直平分線，

∵四邊形ONFM是菱形，

∴MN是OF的垂直平分線，

∴M與D重合，即M為，

設N為，

∵OF與MN互相平分，

∴，，

解得：，

∴N點坐標為：；

③以OF為邊，FM為對角線，如圖：

∵直線DE的解析式為：，

∴直線DE與y軸的交點為（0，-12），

∵四邊形OFNM是菱形，，

∴OM=OF=12，

∴點M的坐標為（0，-12），

∵OM∥FN，OM=FN=12，且點F為（），

∴N點坐標為：；

綜合上述，N點坐標為：，，.