Question

【題目】如圖，已知E、F分別為平行四邊形ABCD的對邊AD、BC上的點，且DE=BF，EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，EF交AC于點O，求證：

（1）EM=FN；
（2）EF與MN互相平分．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAM=∠FCN，

∵DE=BF，

∴AE=CF，∵EM⊥AC于M，FN⊥AC于N，∴∠AME=∠CNF=90°，

在△AEM和△CFN中， ，

∴△AEM≌△CFN（AAS），

∴EM=FN

（2）證明：連接EN、FM，如圖所示：

∵EM⊥AC，FN⊥AC，

∴∠AME=∠EMN=∠FNC=∠FNM=90°，

∴EM∥FN，

又∵由（1）得EM=FN，

∴四邊形EMFN是平行四邊形，

∴EF與MN互相平分．

【解析】（1）根據已知易證△AEM≌△CFN，即可得出結論。
（2）要證EF與MN互相平分．只需證明四邊形EMFN是平行四邊形，由已知易證EM∥FN、EM=FN，即可得證。
【考點精析】通過靈活運用平行四邊形的判定與性質，掌握若一直線過平行四邊形兩對角線的交點，則這條直線被一組對邊截下的線段以對角線的交點為中點，并且這兩條直線二等分此平行四邊形的面積即可以解答此題．