Question

（1）如圖1，在△ABC中，點D，E在邊BC上，BD：DE：CE=1：2：3，線段FG∥BC，分別交線段AD，AE于M、N兩點，則有FM：MN：NG=

1：2：3

（2）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四個頂點有△ABC的三邊上，線段FG分別交線段AD，AE于M、N兩點，若BD=4，EC=9，求MN的長？
（3）如圖3，在△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEGF的四個頂點在△ABC的三邊所在的直線上，DA與EN的延長線分別交直線FG于M、N兩點，求證：MN²=MF•NG．

Answer 1

分析：（1）根據平行線分線段成比例定理列式求出

FM

BD

=

AM

AD

，

MN

DE

=

AM

AD

=

AN

AE

，

NG

CE

=

AN

AE

，然后表示出FM、MN、NG，再求出比值即可；
（2）根據同角的余角相等求出∠B=∠CGE，然后求出△BDF和△GEC相似，再根據相似三角形對應邊成比例列式求正方形DEGF的邊長，然后求出

GF

BC

，再根據相似三角形對應邊成比例列式求出MF、NG，然后根據MN=FG-MF-NG代入數據計算即可得解；
（3）根據平行線分線段成比例定理列式表示出MF、NG，然后求出MF•NG，再求出△BDF和△GEC相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出BD•CE=DE²，整理即可得證．

解答：（1）解：∵FG∥BC，
∴

FM

BD

=

AM

AD

，

MN

DE

=

AM

AD

=

AN

AE

，

NG

CE

=

AN

AE

，
∴

FM

BD

=

MN

DE

=

NG

CE

，
設

FM

BD

=

MN

DE

=

NG

CE

=k，
則FM=kBD，MN=kDE，NG=kCE，
∵BD：DE：CE=1：2：3，
∴FM：MN：NG=kBD：kDE：kCE=1：2：3，
 
（2）解：∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵四邊形DEGF是正方形，
∴∠C+∠CGE=90°，DF=EG，
∴∠B=∠CGE，
又∵∠BDF=∠GEC=90°，
∴△BDF∽△GEC，
∴

BD

EG

=

DF

EC

，
∵BD=4，EC=9，
∴EG•DF=EG²=BD•EC=4×9=36，
∴EG=6，
即正方形DEGF的邊長為6，
∵正方形DEGF的邊FG∥DE，
∴

AF

AB

=

AG

AC

=

FG

BC

=

6

4+6+9

=

6

19

，

MF

BD

=

AF

AB

，

NG

EC

=

AG

AC

，
即

MF

4

=

6

19

，

NG

9

=

6

19

，
解得MF=

24

19

，NG=

54

19

，
∴MN=FG-MF-NG=6-

24

19

-

54

19

=

36

19

；

（3）證明：在正方形DEGF中，DE∥FG，
∴CE∥NG，
∴

MF

BD

=

AM

AD

，

MN

DE

=

AM

AD

=

AN

AE

，

NG

CE

=

AN

AE

，
∴

MF

BD

=

MN

DE

=

NG

CE

，
∴MF=

BD

DE

•MN，NG=

CE

DE

•MN，
∴MF•NG=

BD

DE

•MN•

CE

DE

•MN=MN²•

BD•CE

DE2

，
∵∠BAC=90°，四邊形DEFG是正方形，
∴∠C+∠ABC=90°，∠BFD+∠ABC=90°，GE=DF=DE，
∴∠C=∠BFD，
又∵∠BAC=∠GEC=90°，
∴△BDF∽△GEC，
∴

BD

GE

=

DF

CE

，
∴BD•CE=GE•DF=DE²，
∴

BD•CE

DE2

=1，
∴MN²=MF•NG．
故答案為：1：2：3．

點評：本題考查了相似形綜合題，主要利用了平行線分線段成比例定理，相似三角形的判定與性質，綜合題，但難度不大，要注意比例相等的聯系．