Question

如圖，一次函數 的圖像與 軸、軸分別相交于點 、．二次函數的圖像與 軸的正半軸相交于點，與這個一次函數的圖像相交于點、，．

（1） 求點的坐標；

（2）如果，求這個二次函數的解析式．

 

Answer 1

【答案】

（1）點的坐標（0，3）（2）

【解析】（1）（，0），，                                              （1分）

        在Rt△中，∵，，              （2分）

   ∴，∴點的坐標（0，3）．             （1分）

（2）當點在延長線上時，

∵（0，1），

∴，

∴，

∵ ，，

∴△∽△．                                               （1分）

∴，

∴，

∴．                                                     （1分）

    過點作⊥軸，垂足為，

∵ //，

∴，

∴．

∴，

∴點的坐標為（4，5）．                                           （1分）

設二次函數的解析式為，∴             （1分）

∴

∴二次函數解析式為．                              （1分）

當點在射線上時，同理可求得點，                    （2分）

二次函數解析式為．                                   （1分）

評分說明：過點作于，當點在延長線上或點在射線上時，可用銳

角三角比等方法得（1分），（1分），另外分類有1分其余同上．

（1）先求出A點坐標為（-1，0），B點坐標為（0，1），則OA=1，OB=1，AB=，再根據正弦的定義得sin∠ACB=，而AC=，則OA=，然后根據勾股定理可計算出OC=3，從而確定點C的坐標為（0，3）；

（2）分類討論：當點D在AB延長線上時，如圖1，過點D作DE⊥y軸，垂足為E，由于∠CDB=∠ACB，∠BAC=∠CAD，根據相似的判定得△ABC∽△ACD，則AD：AC=AC：AB，即AD：=：，可計算出AD=5，易得ADE為等腰直角三角形，則DE=AE=AD=×5=5，OE=4，得到點D的坐標為（4，5），然后設一般式，利用待點系數法求過A（-1，0）、C（0，3）、D（4，5）的二次函數的解析式；當點D在射線BA上，如圖2，過點D作DE⊥y軸，垂足為E，與前面的解法相同．